Reguła de l'Hospitala
TWIERDZENIE:
Dane są funkcje f(x) i g(x) określone na podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych, o wartościach w R, różniczkowalne w sąsiedztwie liczby p (w skrajnych przypadkach można przyjąc p = inf, a sąsiedztwo może być jednostronne), przy czym:
\(\displaystyle{ \large g'(t) \neq 0}\)
dla dowolnego t z sąsiedztwa.
Jeżeli:
\(\displaystyle{ \large\lim_{t\to p}f(t) = \large\lim_{t\to p}g(t) = 0}\)
(dopuszczalna też wersja z inf)
i jeżeli
istnieje granica (może być niewłaściwa):
\(\displaystyle{ \large\lim_{t\to p}\:\frac{f'(t)}{g'(t)} = \large\alpha}\)
...
to
\(\displaystyle{ \large\lim_{t\to p}\:\frac{f(t)}{g(t)} = \large\alpha}\)
---------------------------------------------------------
Kilka słów komentarza. Niejednokrotnie na forum wśród możliwości wymienianych rozwiązań dotyczących analizy pojawia się właśnie propozycja zastosowania tej metody... Okazuje się jednak, że nie zawsze jest to zasadny (potrzebny) wybór... Korzystając z artykułu Profesorów Ciesielskiego i Pogody z numeru 12 i 13 "Epsilona" w "Delcie", chciałbym, poza poprawnym sformułowaniem tego twierdzenia przytoczyć kilka przykładów na to, jak nieużyteczne może być stosowanie tej metody (podam tylko przykłady, a do pomyślenia co jest "nie tak"... zachęcam samodzielnie po 'zapoznaniu się' z twierdzeniem.
Oto i one:
\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}}\)
\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
\(\displaystyle{ \large \lim_{n\to \infty}\:\frac{n^2 + 1}{n^3\cdot \ln n + (\ln n)^2}}\)
\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to 0}\:\frac{arctg (x)}{arctg (x+2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to 2}\:\frac{\ln (2-x)}{\ln (x-2)}}\)
---------------------------------------------------------
No i tyle... dodam tylko, że prawdziwym autorem tej metody uznać należałoby nauczyciela markiza de l'Hospitala, młodszego z braci Bernoullich - Johanna... No ale historia matematyki zna dużo takich przekłamań, a tu sytuacja była w pewnym sensie podobna (przywlaszczenie rezultatu), co w przypadku Tartagili i Cardano (historia rozwiązania ogólnego równania algebraicznego stopnia 3). Fakt został opublikowany pod sam koniec wieku XVII w 1696 roku.