METODA NEWTONA
Przybliżone rozwiązywanie równań z pierwiastkami niewymiernymi.
1. Zauważmy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej f(x) w punkcie
\(\displaystyle{ (x_{0},f(x_{0}))}\)
jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie, co można zapisać w następujący sposób:
\(\displaystyle{ f'(x_{0})=-\frac{f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} \,\,\, \,\,\, x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\)
2. Powtarzając tę procedurę dla punktu
\(\displaystyle{ (x_{0},f(x_{0}))}\),
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}}\)
3. Kontynuując to postępowanie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\)
4. Wykorzystując ten wzór otrzymujemy ciąg kolejnych przybliżeń:
\(\displaystyle{ \large x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ...}\)
zbieżny do miejsca zerowego (lub jednego z nich).
----------------------------------------------
PRZYKŁAD:
"Znaleźć przybliżenie liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) z dokładnością do 5 liczb po przecinku."
Najlepiej zacząć od funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-3}\) i szukać pierwiastka po prawej stronie.
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-3 \\ f'(x)=2x \\}\)
\(\displaystyle{ x_{0}=3 \\ x_{1}=3-\frac{3^{2}-3}{2 3}=3-1=2 \\ x_{2}=2-\frac{2^{2}-3}{2 2}=1,75 \\ x_{3}=1,75-\frac{(1,75)^{2}-3}{2 1,75}=1,73214286... \\ x_{4}=1,73214286-\frac{(1,73214286)^{2}-3}{2 1,73214286}=1,7320508}\)
No i otrzymaliśmy takie przybliżenie.
Na koniec dodam, że powyższa metoda świetnie przydaje się do rozwiązywania niewymiernych równań wykładniczych, jak np:
\(\displaystyle{ 2^{x}=x+4}\)
Pozdrawiam.
[edit] Pozwoliłem sobie nieco uporządkować tekst, nic nie zmieniłem w treści - Arek