Szeregi. Zbieżność szeregów.

[Tomasz Rużycki]

1. Definicja szeregu.

Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ {a_n}}\). Sumę \(\displaystyle{ a_p+a_{p+1}+...+a_q,\, (p\leq q)}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=p}^q a_n}\). Ciągowi \(\displaystyle{ {a_n}}\) odpowiada ciąg \(\displaystyle{ {s_n}}\), gdzie \(\displaystyle{ s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k}\).

Symbol \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+...}\), bądź krócej \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n}\) nazywamy szeregiem nieskończonym. Liczy \(\displaystyle{ s_n}\) nazywamy sumami częsciowymi tego szeregu.

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ {s_n}}\) jest zbieżny do s, to mówimy, że szereg jest zbieżny. Oznaczamy to \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=s}\).

Liczbę \(\displaystyle{ s}\) nazywamy sumą szeregu (\(\displaystyle{ s}\) jest granicą ciągu sum, a nie wynikiem zwykłego dodawania).

W dalszej części tego mini-arta, gdy to nie będzie dwuznaczne będę pisał \(\displaystyle{ \sum\limits a_n}\) zamiast \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n}\).


2. Zbieżność szeregu.

Definicja 1.: Szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli \(\displaystyle{ \sum |a_n|}\) jest zbieżny.

Twierdzenie 1.: Jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest zbieżny, to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n=0}\).

Twierdzenie 2.: Jeśli szeregi \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \Large\sum b_n}\) są zbieżne, to zbieżne są szeregi \(\displaystyle{ \sum c\cdot a_n}\), \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)}\), \(\displaystyle{ \sum (a_n-b_n)}\) oraz zachodzą wzory:

\(\displaystyle{ \sum c\cdot a_n=c\cdot \sum a_n}\),

\(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\Large\sum b_n}\),

\(\displaystyle{ \sum (a_n-b_n)=\sum a_n-\Large\sum b_n}\).


Twierdzenie 3.: Dwa szeregi różniące się skończoną liczbą wyrazów są albo oba zbieżne, albo oba rozbieżne.

3. Kryteria zbieżności szeregów.

Poniższe twierdzenia dotyczą zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych.

Niech \(\displaystyle{ {z_n}}\) będzie ciągiem liczb zespolonych, niech \(\displaystyle{ x_{n}}\) będzie częścią rzeczywistą, a \(\displaystyle{ y_{n}}\) urojoną liczby \(\displaystyle{ z_n}\), to jest \(\displaystyle{ z_n=x_n+y_n\cdot i}\)

Twierdzenie 4. (kryterium porównawcze): Jeżeli istnieje liczba \(\displaystyle{ n_0}\) taka, że
\(\displaystyle{ |z_n|\leq b_n}\) dla \(\displaystyle{ n\geq n_0}\),
to zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum b_n}\) implikuje zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum z_n}\), a rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum z_n}\) implikuje rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum b_n}\).

Twierdzenie 5 (wniosek z tw. 4.).: Niech \(\displaystyle{ {a_n}}\) i \(\displaystyle{ {b_n}}\) będą ciągami o wyrazach rzeczywistych. Zakładamy, że \(\displaystyle{ b_n>0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) oraz, że istnieje skończona granica \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\beta}\).
Jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum b_n}\) jest zbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\)jest zbieżny; jeśli \(\displaystyle{ \beta\neq 0}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum b_n}\) jest rozbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest rozbieżny.

Twierdzenie 6. (kryterium d'Alemberta): Zakladamy, że \(\displaystyle{ z_n\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \|\frac{z_{n+1}}{z_n}\|=\lambda}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum z_n}\) jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda 1}\).

Twierdzenie 7. (kryterium Cauchy'ego): Jeżeli \(\displaystyle{ \lambda=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|z_n|}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum z_n}\) jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \lambda 1}\).

Twierdzenie 8. (Leibnitza): Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ {a_n}}\) jest nierosnący i zbieżny do zera, to szereg \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n}\) jest zbieżny.

--


Kryterium Kummera:

Niech \(\displaystyle{ c_{n} > 0}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich takim, że:

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ \frac{1}{c_{n}} = \infty}\),

Wówczas:

\(\displaystyle{ \liminf \left(c_{n}\cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\, - \, c_{n+1}\right)\, >\, 0 \, \Rightarrow \, \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ a_{n} < \infty}\)

\(\displaystyle{ \limsup \left(c_{n}\cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\, - \, c_{n+1}\right)\, <\, 0 \, \Rightarrow \, \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ a_{n} = \infty}\)

Kryterium Raabego to Kummer dla \(\displaystyle{ c_{n} = n}\)
Kryterium d'Alemberta to Kummer dla \(\displaystyle{ c_{n} = 1}\)

Przykład zastosowania: szeregi hipergeometryczne.


Twierdzenie 11. (Cauchy'ego-Hadamarda): Jeżeli \(\displaystyle{ \lambda=\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\), to

\(\displaystyle{ r=\begin{cases}\frac{1}{\lambda}\ &\text{gdy }\lambda\in(0;\infty)\\ 0\ &\text{gdy } \lambda=\infty \\ \infty\ &\text{gdy }\lambda=0\end{cases}}\)


Najważniejsze rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy:

\(\displaystyle{ \Large e^x = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots}\)

\(\displaystyle{ \Large \sin(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots}\)

\(\displaystyle{ \Large \cos(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots}\)

\(\displaystyle{ \Large \sinh(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \ldots}\)

\(\displaystyle{ \Large \cosh(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots}\)

\(\displaystyle{ \Large \ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots}\)
(wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ x\in (-1,1\rangle}\))


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki