Definicja 1.: Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) lub jego skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, ..., m\}}\).
W pierwszym przypadku ciąg nazywa się ciągiem nieskończonym, a w drugim ciągiem skończonym, dokładniej m-elementowym lub m-wyrazowym.
Definicja 2.: Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.
Ciąg liczbowy jest jednoznacznie określony przez podanie ogólnego wzoru, wyrażającego n-ty wyraz \(\displaystyle{ a_n}\) jako funkcję zmiennej n, lub przez podanie wzoru rekurencyjnego wyrażającego \(\displaystyle{ a_n}\) przez wyrazy wcześniejsze: \(\displaystyle{ a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...,\, a_{n-1}}\), musi być przy tym podany pierwszy wyraz. Nie każdy ciąg liczbowy można przedstawić tymi sposobami.
2. Ciągi ograniczone. Ciągi monotoniczne.
Definicja 3.: Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg liczbowy, którego zbiór wyrazów jest zbiorem ograniczonym.
Ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem ograniczonym z góry lub odpowiednio z dołu, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu). Mamy zatem:
* ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem ograniczonym z góry \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\leq r}\)
* ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem ograniczonym z dołu \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\geq r}\)
* ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem ograniczonym \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, |a_n|\leq r}\).
Definicja 4.: Ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_n)}\) nazywamy ciągiem monotonicznym, jeśli spełnia jeden z dwóch warunków:
(1) \(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\geq a_n}\) lub
(2) \(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\leq a_n}\).
Jeśli spełniony jest warunek (1), ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem niemalejącym, jeśli warunek (2) – ciąg jest ciągiem nierosnącym. Gdy warunek (1) lub (2) jest spełniony w mocniejszej postaci, z nierównością ostrą zamiast słabej, ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nazywamy ciągiem rosnącym lub odpowiednio ciągiem malejącym. Ciąg, który jest malejący lub rosnący, nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym.
3. Pojęcie granicy. Ciągi zbieżne i rozbieżne.
Definicja 5.: Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego \(\displaystyle{ (a_n)}\), jeśli dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) istnieje taka liczba k, że dla n>k zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ |a_n-g|<\epsilon}\)
Definicja 6.: Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).
4. Twierdzenia dotyczące ciągów i ich granic.
Twierdzenie 1.: Jeśli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.
Twierdzenie 2.: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie 3.: Przy założeniu, że ciągi \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\) są zbieżne zachodzą następujące wzory:
(1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n+ \lim_{n \to \infty}b_n}\)
(2) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n- \lim_{n \to \infty}b_n}\)
(3) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n}\)
(4) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}( \frac{a_n}{b_n})= \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}}\), o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}b_n \neq 0}\).
Wniosek z (3): \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(-a_n)=- \lim_{n \to \infty}a_n}\).
Twierdzenie 4.: Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}b_n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}( \frac{1}{b_n})= \frac{1}{ \lim_{n \to \infty}b_n}}\).
Twierdzenie 5.: Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny to zachodzi: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}|a_n|=| \lim_{n \to \infty}a_n|}\).
Twierdzenie 6. (twierdzenie o trzech ciągach): Jeśli \(\displaystyle{ a_n \leq c_n \leq b_n}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n=g= \lim_{n \to \infty}b_n}\), to ciąg \(\displaystyle{ (c_n)}\) jest zbieżny, przy czym
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}c_n= \lim_{n \to \infty}b_n= \lim_{n \to \infty}a_n}\)
Twierdzenie 7.: Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na zbieżność tego ciągu ani na jego granicę.Twierdzenie 8.: Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany (jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n=g}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_{m_n}=g}\)).
Twierdzenie 9. (Bolzano-Weierstrassa): Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Dowód: Niech wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\). Podzielmy ten przedział na na połowy. Wówczas co najmniej w jednej połówce zawarte jest nieskończenie wiele wyrazów naszego ciągu, bo w przeciwnym wypadku w całym przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) byłoby tylko skończenie wiele wyrazów ciągu, co oczywiście jest niemożliwe. Niech więc \(\displaystyle{ [a_1,b_1]}\) będzie tą połową przedziału, która zawiera nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x_n}\).
Podobnie robimy z przedziałem \(\displaystyle{ [a_1,b_1]}\), wydzielamy jego połowę \(\displaystyle{ [a_2,b_2]}\) zawierającą nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\).
Powtarzając to postępowanie w nieskończoność, w k-tym kroku wydzielamy przedział \(\displaystyle{ [a_k,b_k]}\), zawierający również nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\).
Każdy z utworzonych w ten sposób przedziałów (począwszy od drugiego) zawiera się w poprzednim, stanowiąc jego połowę. Ponadto długość k-tego przedziału, równa \(\displaystyle{ b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}}\) dąży do zera wraz ze wzrostem k.
Wiedząc, że jeśli granica dwóch ciągów jest zbieżna do zera, to są one zbieżne do wspólnej granicy, wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a_k}\) i \(\displaystyle{ b_k}\) dążą do wspólnej granicy g. Podciąg \(\displaystyle{ (x_{n_k})}\) konstruujemy indukcyjnie. Jako \(\displaystyle{ x_{n_1}}\) bierzemy dowolny (np. pierwszy) wyraz ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [a_1,b_1]}\). Jako \(\displaystyle{ x_{n_2}}\) bierzemy dowolny z wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) następujących po \(\displaystyle{ x_{n_1}}\) i zawartych w przedziale \(\displaystyle{ [a_2,b_2]}\) itd... Ogólnie jako \(\displaystyle{ x_{n_k}}\) obieramy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów \(\displaystyle{ (x_n)}\) następujący po wyrazach \(\displaystyle{ x_{n_1},\, x_{n_2},\, ...,\, x_{n_{k-1}}}\) zawartych w przedziale \(\displaystyle{ [a_k,b_k]}\). Możliwość takiego wyboru przebiegającego kolejno, zawdzięczamy temu, że każdy z przedziałów \(\displaystyle{ [a_k,b_k]}\) zawiera nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ x_n}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a_k\leq x_{n_k}\leq b_k}\) i \(\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} b_k=c}\), z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{k \to\infty}x_{n_k}=c}\), Q.E.D.
Twierdzenie 10.: Jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ograniczony i jeśli wszystkie jego podciągi zbieżne są zbieżne do tej samej granicy g, to również ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do granicy g.
Twierdzenie 11. (warunek Cauchy'ego): Na to, by ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) był zbieżny, potrzeba i wystarcza aby dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istniała taka liczba r, że dla n>r zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |a_n-a_r|<\epsilon}\)
Twierdzenie 12.: Ciąg rosnący nieograniczony z góry jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\).
Twierdzenie 13.: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n= \pm \infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}( \frac{1}{a_n})=0}\).
Twierdzenie 14.: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n= \infty}\), zaś ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ograniczony z dołu, to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \infty}\).
Twierdzenie 15.: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n= \infty}\) oraz stale \(\displaystyle{ b_n \geq c}\), przy czym \(\displaystyle{ c>0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty}\).
Twierdzenie 16.: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty}\) oraz \(\displaystyle{ a_n\leq b_n}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=\infty}\).
Twierdzenie 17.: Jeśli \(\displaystyle{ |a|<1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a^n=0}\).
Twierdzenie 18.: Jeśli \(\displaystyle{ a>1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a^n= \infty}\).
Twierdzenie 19.: Jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1}\).
Twierdzenie 20.: Jeśli \(\displaystyle{ a>0}\) i jeśli \(\displaystyle{ (r_n)}\) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do 0, to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a^{r_n}=1}\).
Twierdzenie 21. (Stolza): Niech \(\displaystyle{ b_n\rightarrow +\infty}\), przy czym - choćby poczynając od pewnego miejsca - \(\displaystyle{ b_n}\) rośnie wraz z n, tj. \(\displaystyle{ b_{n+1}>b_n}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}} \right)}\)
jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie (skończona lub nieskończona).
Twierdzenie 22.
Ciąg nieograniczony z góry (z dołu) zawiera podciąg rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty\; (-\infty)}\)
Wniosek: (wraz z tw. B-W)
Każdy ciąg nieskończony zawiera podciąg mający granicę (skończoną lub nie).
Twierdzenie 23.
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n=g}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}{n}=g}\)
Dowód: np. z tw. Stolza.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek z tw. 23:
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}(b_n-b_{n-1})=b}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=b}\)
(wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ b_1=a_1, \; b_n-b_{n-1}=a_n}\))
Twierdzenie 24.
Jeśli \(\displaystyle{ \forall{n\in\mathbb{N}}\; a_n>0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n=g}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=g}\)
Dowód z wykorzystaniem poprzedniego twierdzenia i ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej:
Przyjmijmy
\(\displaystyle{ b_n=\ln a_n, \; \lim_{n\to\infty}b_n=\ln g}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\lim_{n\to\infty}e^\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=e^{\ln g}=g}\)
gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln a_1+\ln a_2+...+\ln a_n}{n}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\ln g}\)
Wniosek z tw.:
Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{b_n}{b_{n-1}}=g}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=g}\)
(przyjmujemy \(\displaystyle{ b_1=a_1,\; \frac{b_n}{b_{n-1}}=a_n}\))
I nierówność z tym związana: (założenie: \(\displaystyle{ a_n>0}\))
\(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)
Twierdzenie 25.
Jeśli \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1}\) lub \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n=0}\)
(wykorzystanie kryteriów zbieżności szeregów).
Edit by Tomek R.: Postaram się sukcesywnie uzupełniać powyższy artykuł ^_^.
Edit by Lorek: poprawki+uzupełnienie
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki