Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu

Post autor: yorgin »

Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu
Spis treści:

1. Równania typu \(\displaystyle{ y''=f(x)}\)

2. Równania typu \(\displaystyle{ F(x,y',y'')=0}\)

[url=http://www.matematyka.pl/362915.htm#3]3. Równania typu \(\displaystyle{ F(y,y',y'')=0}\)[/url]

[url=http://www.matematyka.pl/362915.htm#4]4. Równania jednorodne względem \(\displaystyle{ y, y', y''}\)
[/url]



Równania tego typu sprowadza się do równań pierwszego rzędu przez zwyczajne scałkowanie stronami, to znaczy
\(\displaystyle{ y''=f(x) \qquad \Rightarrow \qquad y'=\int f(x) \dd x.}\)
Przykład 1.1. \(\displaystyle{ y''=x^2}\)
Rozwiązanie:    
Przykład 1.2. \(\displaystyle{ y''=xe^{x}}\)
Rozwiązanie:    



Równania, w których nie występuje \(\displaystyle{ y}\), sprowadzamy do równań pierwszego rzędu podstawieniem
\(\displaystyle{ y'(x)=u(x)}\).
Otrzymujemy wtedy równanie
\(\displaystyle{ F(x,u,u')=0,}\)
a więc jest to istotnie równanie różniczkowe pierwszego rzędu.

Przykład 2.1. \(\displaystyle{ \begin{cases}2y''-y' ^{2}=0 \\ y(0)=1\\ y'(0)=-2 \end{cases}}\)

Rozwiązanie - 342496.htm

Przykład 2.2. \(\displaystyle{ tx''=x'\ln \frac{x'}{t}}\)

Rozwiązanie - 347309.htm



Jeżeli w równaniu nie występuje \(\displaystyle{ x}\), to dokonujemy podstawienia
\(\displaystyle{ y'(x)=u(y)}\).
Wtedy też
\(\displaystyle{ y''(x)=\frac{\dd u}{\dd x}=\ddfrac{u}{y}\ddfrac{y}{x}=u'(y)u(y)}\).
Podstawiając dostajemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ F(y,u,u'u)=0}\).
Przykład 3.1. \(\displaystyle{ 2yy''= (y') ^{2} - 1, y(1)=2, y'(1)=2}\)

Rozwiązanie - 342148.htm

Przykład 3.2. \(\displaystyle{ y''=(y')^3 \cdot \ln y}\)

Rozwiązanie - 362444.htm

Przykład 3.3. \(\displaystyle{ yy''-(y') ^{2} = 3y ^{2} y'}\)

Rozwiązanie - 377498.htm



Jeżeli równanie jest nieco prostszej postaci, to jest mamy do czynienia z równaniem typu
\(\displaystyle{ y''=F(y),}\)
to możemy je pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ y'}\) oraz scałkować:
\(\displaystyle{ y''y'=y'F(y),}\)

\(\displaystyle{ \int y''y'\dd x=\int y'F(y)\dd x,}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(y')^2=\int y'F(y)\dd x.}\)
Przykład 3.4. \(\displaystyle{ y'' + \omega^2 \sin y = 0}\)

Przykład oraz zamieszczone poniżej rozwiązanie pochodzi od użytkownika luka52, któremu serdecznie dziękuję za przekazanie oraz możliwość umieszczenia go w niniejszym wykładzie.
Rozwiązanie:    


Jeżeli równanie jest jednorodne względem zmiennych \(\displaystyle{ y, y', y''}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) nie występuje w równaniu w sposób jawny, to możemy zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ y(x)=e^{u(x)}.}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ y'=u'e^u,\qquad y''=((u')^2+u'')e^u,}\)
a więc równanie ma postać
\(\displaystyle{ F(y,y',y'')=F(e^u,u'e^u,((u')^2+u'')e^u)=0,}\)
co na mocy jednorodności można zapisać zwięźle jako
\(\displaystyle{ F(1,u',(u')^2+u'')=0.}\)
Jest to równanie różniczkowe, którego sposób rozwiązania przedstawiony został w rozdziale trzecim.

Przykład 4.1. \(\displaystyle{ 2yy''+(y')^2=0}\)
Rozwiązanie:    
Czasem możemy mieć do czynienia z równaniem jednorodnym względem \(\displaystyle{ y, y', y''}\) w postaci
\(\displaystyle{ F(x,y,y',y'')=0.}\)
Możemy wtedy zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ y'(x)=y(x)z(x)\qquad \Rightarrow \qquad y''=y(z'+z^2),}\)
które sprowadza równanie bezpośrednio do równania pierwszego rzędu. Istotnie, mamy
\(\displaystyle{ F(x,y,y',y'')=F(x,y,yz,y(z^2+z'))=F(x,1,z,z^2+z').}\)
Przykład 4.2. \(\displaystyle{ x^2yy''-x^2(y')^2+2xyy'-y^2=0.}\)
Rozwiązanie:    
Wszelkie uwagi, informacje o błędach/literówkach proszę kierować na PW. Mile widziane sugestie, akceptuję również odnośniki do (ciekawych) przykładów z forum.
ODPOWIEDZ