Czynnik całkujący w równaniach różniczkowych

[yorgin]

Czynnik całkujący w równaniach różniczkowych

Spis treści:

1. Wprowadzenie

2. Czynnik całkujący zależny od jednej zmiennej

3. Czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych

4. Czynnik całkujący zależny od sumy zmiennych

5. Czynnik całkujący w równaniach liniowych pierwszego rzędu

1. Wprowadzenie

Jedną z często spotykanych form równań różniczkowych zwyczajnych o jednej zmiennej przestrzennej jest ich prezentacja w postaci formy

\(\displaystyle{ P(x,y)\dd x+Q(x,y)\dd y=0.}\)

gdzie \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) są funkcjami klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\) na pewnym jednospójnym obszarze \(\displaystyle{ \Omega}\) i nie zerują się obie jednocześnie w żadnym punkcie tego obszaru. Forma ta może być zupełna - mówimy wtedy o równaniu zupełnym. Jednak zwykle mamy do czynienia z równaniem niezupełnym, co w szczególności oznacza, że

\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}}\).

Jeżeli równanie nie jest zupełne, to możemy znaleźć funkcję \(\displaystyle{ \mu(x,y)}\) taką, że wyjściowe równanie pomnożone stronami przez \(\displaystyle{ \mu(x,y)}\) staje się zupełne.

Definicja 1.1. Funkcję \(\displaystyle{ \mu}\) nazywamy czynnikiem całkującym.

Gdy znajdziemy czynnik całkujący równania, możemy je przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ P(x,y)\mu(x,y)\dd x+Q(x,y)\mu(x,y)\dd y=0}\)

i następnie rozwiązać tak, jak klasyczne równanie zupełne.

Poniżej prezentujemy kilka podstawowych typów czynników całkujących oraz metody ich poszukiwania.

2. Czynnik całkujący zależny od jednej zmiennej

Twierdzenie 2.1. Jeżeli wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)}\)

jest funkcją zależną wyłącznie od zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to istnieje czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu=\mu(x)}\) i jest on postaci

\(\displaystyle{ \mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right).}\)

Dowód:    

Załóżmy, że czynnik całkujący jest postaci \(\displaystyle{ \mu=\mu(x)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{\partial \mu}{\partial y}=0.}\)
Żądamy, aby

\(\displaystyle{ \frac{\partial (P\mu)}{\partial y}=\frac{\partial (Q\mu)}{\partial x}.}\)

Po zróżniczkowaniu i uporządkowaniu stron otrzymujemy

\(\displaystyle{ \mu(x) \left ( \pfrac{P}{y} - \pfrac{Q}{x} \right ) = \mu'(x) Q,}\)

a stąd

\(\displaystyle{ \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right).}\)

Po obustronnym scałkowaniu i wzięciu eksponenty otrzymujemy tezę. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla czynnika zależnego tylko od zmiennej \(\displaystyle{ y}\).

Twierdzenie 2.2. Jeżeli wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)}\)

jest funkcją zależną wyłącznie od zmiennej \(\displaystyle{ y}\), to istnieje czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu=\mu(y)}\) i jest on postaci

\(\displaystyle{ \mu(y)=\exp \left(\int\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\dd y\right).}\)

Dowód jest identyczny, więc go pomijamy.

Przykład 2.3. \(\displaystyle{ y' + \frac{y}{x} = \frac{1}{ x^{3} \cdot y }}\)
Rozwiązanie - 342497.htm

Przykład 2.4. \(\displaystyle{ y'=\frac{y}{y^2+3x}}\)
Rozwiązanie - 334796.htm

Przykład 2.5. \(\displaystyle{ xy^{2}+y -x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=0}\)
Rozwiązanie - 331994.htm

Przykład 2.6. \(\displaystyle{ y^2 + \left( x^2-2xy\right) \frac{\dd y}{\dd x} =0}\)
Rozwiązanie - 360839.htm

3. Czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych

Twierdzenie 3.1. Jeżeli istnieją funkcje \(\displaystyle{ u=u(x)}\) oraz \(\displaystyle{ v=v(y)}\) takie, że

\(\displaystyle{ \pfrac{P(x,y)}{y}-\pfrac{Q(x,y)}{x}=u(x)Q(x,y)-v(y)P(x,y),}\)

to istnieje czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu=\mu(x,y)=f(x)g(y)}\), gdzie

\(\displaystyle{ f(x)=\exp\left(\int u(x)\dd x\right),\qquad g(y)=\exp\left(\int v(y)\dd y\right).}\)

Dowód:    

Niech \(\displaystyle{ \mu(x,y)=f(x)g(y)}\). Żądamy, aby

\(\displaystyle{ \pfrac{(f(x)g(y)P(x,y))}{y}=\pfrac{(f(x)g(y)Q(x,y))}{x}.}\)

Rozwijamy i porządkujemy:

\(\displaystyle{ f(x)g(y)\left(\pfrac{P(x,y)}{y}-\pfrac{Q(x,y)}{x}\right)=\pfrac{f(x)}{x}g(y)Q(x,y)-\pfrac{g(y)}{y}f(x)P(x,y).}\)

Stąd otrzymujemy postać

\(\displaystyle{ \pfrac{P(x,y)}{y}-\pfrac{Q(x,y)}{x}=\pfrac{f(x)}{x}\cdot \frac{Q(x,y)}{f(x)}-\pfrac{g(y)}{y}\cdot\frac{P(x,y)}{g(y)}.}\)

Teraz wystarczy przyjąć

\(\displaystyle{ u(x)=\frac{f'(x)}{f(x)},\qquad v(y)=\frac{g'(y)}{g(y)}}\)

i mamy tezę. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Przykład 3.2. \(\displaystyle{ \frac{xy}{e^y} + \left( xy- \frac{x^2y}{e^y} \right) \frac{\dd y}{\dd x} =0}\)
Rozwiązanie - 360857.htm

Przykład 3.3. \(\displaystyle{ (\sin{4y}+\frac{2}{x}\sin{2y})-2x\sin^2{2y}\frac{\dd y}{\dd x}=0}\)
Rozwiązanie - 103632.htm

4. Czynnik całkujący zależny od sumy zmiennych

Twierdzenie 4.1. Niech \(\displaystyle{ S(x,y)=x+y}\) Jeżeli wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right),}\)

jest funkcją zależną formalnie wyłącznie od zmiennej \(\displaystyle{ S}\), to istnieje czynnik całkujący \(\displaystyle{ \mu=\mu(S(x,y))}\) i jest on postaci

\(\displaystyle{ \mu(x,y)=\exp\left(\int \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)\dd S\right),}\)

Dowód:    

Niech \(\displaystyle{ \mu=\mu(S)}\). Czynnik całkujący jest formalnie funkcją zmiennej \(\displaystyle{ S}\). Żądamy, aby

\(\displaystyle{ \pfrac{(P\mu)}{y}=\pfrac{(Q\mu)}{x}.}\)

Rozwijamy:

\(\displaystyle{ \pfrac{P}{y}\mu+P\mu'(S)\pfrac{S}{y}=\pfrac{Q}{x}\mu+Q\mu'(S)\pfrac{S}{x}.}\)

Po uporządkowaniu mamy

\(\displaystyle{ \frac{\mu'(S)}{\mu(S)}=\frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right).}\)

Po scałkowaniu i wzięciu eksponenty dostajemy tezę. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Przykład 4.2. \(\displaystyle{ (3x+4y)\dd x-(2x+y)\dd y=0}\) (źródło - wikipedia)
Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)=\frac{-6}{5(x+y)},}\)

wobec tego

\(\displaystyle{ \mu(S)=\exp\left(\int-\frac{6}{5}S\dd S\right)=\exp\left(C-\frac{6}{5}\ln S\right)=D\cdot S^{-\frac{6}{5}}=D\cdot (x+y)^{-\frac{6}{5}}.}\)

5. Czynnik całkujący w równaniach liniowych pierwszego rzędu

Rozważmy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu pierwszego

\(\displaystyle{ y'(x)+f(x)y(x)=g(x)\qquad (\Delta)}\)

Poza klasycznymi metodami, jak uzmiennianie stałej czy metoda przewidywań (przykłady), możemy zastosować metodę czynnika całkującego w innej niż wcześniej formie. Mianowicie, możemy znaleźć taką funkcję \(\displaystyle{ \mu(x)}\), że wyjściowe równanie pomnożone stronami przez nią daje się łatwo rozwiązać. Precyzuje to poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 5.1. Istnieje funkcja \(\displaystyle{ \mu=\mu(x)}\) taka, że równanie \(\displaystyle{ (\Delta)}\) daje się zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ (y(x)\cdot \mu(x))'=g(x)\mu(x).}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \mu}\) dana jest wzorem

\(\displaystyle{ \mu(x)=\exp\left(\int f(x)\dd x\right)}\)

Dowód:    

Mnożymy równanie \(\displaystyle{ (\Delta)}\) stronami przez (póki co jakiekolwiek) \(\displaystyle{ \mu(x)}\). Otrzymujemy

\(\displaystyle{ y'(x)\mu(x)+y(x)p(x)\mu(x)=g(x)\mu(x).}\)

Chcemy teraz, by zachodziło

\(\displaystyle{ (y(x)\mu(x))'=y'(x)\mu(x)+y(x)p(x)\mu(x).}\)

Po rozpisaniu i porównaniu stron widzimy, że

\(\displaystyle{ \mu'(x)=p(x)\mu(x),}\)

skąd szukanym czynnikiem całkującym jest

\(\displaystyle{ \mu(x)=\exp\left(\int p(x)\dd x\right).\qquad \blacksquare}\)

Przykład 5.2. \(\displaystyle{ y'+y\ctg x=\frac{x^2}{\sin x}}\)
Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Mamy

\(\displaystyle{ \mu(x)=\exp\left(\int \ctg x\dd x\right)=C\sin x.}\)

Przyjmujemy \(\displaystyle{ C=1}\), skąd dostajemy

\(\displaystyle{ (y\sin x)'=x^2,}\)

i ostatecznie

\(\displaystyle{ y=\frac{x^3+D}{3\sin x}.}\)

Przykład 5.3. \(\displaystyle{ y' + 2xy = x}\)

Rozwiązanie - 356914.htm



Wszelkie uwagi, informacje o błędach/literówkach proszę kierować na PW. Mile widziane sugestie, akceptuję również odnośniki do (ciekawych) przykładów z forum.

[kruszewski]

Proponuję postawić ten list jako "przyklejony".
Będzie przydatny wielu PT Forumowiczom.
W.Kr.

[Swistak]

Całego artykułu nie miałem czasu przejrzeć, ale na pierwszy rzut oka, to
wydaje mi się, że jeżeli chcemy nauczyć kogoś znajdowania czynnika całkującego, to twierdzenie
"Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)}\) jest funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x}\), to wtedy dobrym czynnikiem całkującym będzie \(\displaystyle{ \mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right)}\) "
wydaje się być dużo użyteczniejsze niż twierdzenie
"Jeżeli istnieje czynnik całkujący postaci \(\displaystyle{ \mu=\mu(x)}\), to

\(\displaystyle{ \mu(x)=\exp \left(\int\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}
{\partial x}\right)\dd x\right)}\) "

[yorgin]

kruszewski, temat jest linkowany w innym przyklejonym temacie w forum poświęconym równaniom różniczkowym.

Swistak, uwaga słuszna. Istotnie, rozwiązując zadanie zaczynamy od sprawdzenia, czy odpowiednie wyrażenie jest takiej czy innej postaci i stąd formułujemy wniosek o postaci czynnika całkującego. Przeformułowałem więc wypowiedzi twierdzeń na bardziej "praktyczne".

Podziękowania dla luka52 za podsunięcie pomysłu na rozdział piąty oraz zwrócenie uwagi na kilka kwestii technicznych.

mariuszm, z kolei Twoje uwagi dotyczyły w jednym przypadku sytuacji zbyt ogólnej (moim celem jest przedstawienie postaci czynnika w sprecyzowanych i zwykle nauczanych postaciach), w drugim przypadku sytuacji, w moim przekonaniu, "na siłę".