Temat: Residuum funkcji, Całka Fourier'a
1. Residuum funkcji
\(\displaystyle{ \mathfrak{N}}\)iech \(\displaystyle{ z_0 \neq \infty}\) będzie punktem płaszczyzny zespolonej. Niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie holomorficzna
w pewnym sąsiedztwie \(\displaystyle{ S(z_0,\rho)}\) punktu \(\displaystyle{ z_0}\)
Definicja 1.1( )
Residuum funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0}\) nazywamy liczbę :
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=\frac{1}{2 \pi j} \int\limits_K \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } f(z)dz}\)
gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest dodatnio skierowanym okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Niech \(\displaystyle{ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n}\) będzie szeregiem Laurent'a funkcji \(\displaystyle{ f}\)
w pierścieniu \(\displaystyle{ P(z_0,0,r)=S(z_0,r)}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=a_{-1}}\)
Obliczanie residuum
1. Jeżeli \(\displaystyle{ z_0}\) jest punktem regularnym (tzn. funkcja jest w nim holomorficzna) lub punktem pozornie osobliwym funkcji \(\displaystyle{ f}\) to
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=0}\)
2. Jeżeli punkt \(\displaystyle{ z_0}\) jest biegunem pojedynczym funkcji \(\displaystyle{ f}\), to
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=\lim_{z \to z_0} (z-z_0) \cdot f(z)}\)
W szczególności, jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest postaci \(\displaystyle{ \frac{P(z)}{Q(z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ P(z_0) \neq 0, \; Q(z_0) =0 ,\;Q'(z_0) \neq 0}\)
to wówczas:
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}}\)
3. Jeżeli \(\displaystyle{ z_0}\) jest biegunem \(\displaystyle{ k}\)-krotnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), to :
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \mathfrak{f}(z)=\frac{1}{(k-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{\partial^{k-1}}{\partial z^{k-1}} \left[ (z-z_0)^k \cdot f(z) \right]}\)
Przykład 1.1
Obliczyć residua w punktach osobliwych funkcji \(\displaystyle{ f(z)=\frac{z}{\sin z}}\)
punkty osobliwe: \(\displaystyle{ z_n=n \cdot \pi \;dla\;n \in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{z \to n \pi} \frac{z}{\sin z } =\left\{\begin{array}{l} 1 \;dla\;n=0\\\infty \; dla\; n \neq 0 \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ z_0=0}\) - punkt pozornie osobliwy \(\displaystyle{ \Rightarrow \; \mathfrak{res}_{z_0} \frac{z}{\sin z}=0}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{z_n=n \pi }_{n \neq 0}}\) są biegunami pojedynczymi, więc:
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \frac{z}{\sin z }=\lim_{z \to n \pi} (z-n \pi)\frac{z}{\sin z }}\)
\(\displaystyle{ P(z)=z ,\;\; P(n \pi )=n \pi}\)
\(\displaystyle{ Q(z)=\sin z \;\; Q(n \pi )=0}\)
\(\displaystyle{ Q'(z)=\cos z ,\;\; Q'(n \pi)= \cos n \pi = (-1)^n}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0} \frac{z}{\sin z }=\frac{n \pi}{(-1)^n} = (-1)^n n \pi}\)
Przykład 1.2
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{\sin \pi j z}{(z-j)^2}}\), punkt osobliwy: \(\displaystyle{ z_0=j}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin \pi j z}{(z-j)^2}=\frac{- \sin (\pi j z + \pi )}{(z-j)^2} = - \frac{\sin [\pi j ( z-j) ]}{(z-j)^2} = \\ =\underbrace{\frac{- \pi j}{z-j}}_{\to \infty \; dla \; z \to j } \cdot \underbrace{\frac{\sin [ \pi j ( z-j)]}{\pi j (z-j)}}_{\to 1 \; dla\; z \to j } \longrightarrow \infty}\)
czyli \(\displaystyle{ z_0=j}\) jest biegunem
\(\displaystyle{ \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^k \cdot f(z)=\lim_{z \to j} (z-j)^k \frac{\sin \pi j z}{(z-j)^2}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{z \to j} (z-j)^{k-1} \cdot \frac{-\pi j \sin[\pi j (z-j)]}{\pi j (z-j)}=\begin{cases} \neq 0 \;dla\;k=1 \\ =0 \;dla\;k=2 \\ \end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ z_0=j}\) jest biegunem jednokrotnym
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{z_0}\frac{\sin \pi j z}{(z-j)^2}=\lim_{z \to j } (z-j) \cdot \frac{\sin \pi j z}{(z-j)^2}=-\pi j}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}}\)iech \(\displaystyle{ z_0=\infty}\)
Sąsiedztwem punktu \(\displaystyle{ z_0}\) jest zbiór : \(\displaystyle{ \{z \in \mathbb{C}: |z|>R\}}\)
Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) bedzie holomorficzna w punkcie \(\displaystyle{ \infty}\)
Definicja 1.2
Residuum funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ \infty}\) nazywamy liczbę:
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{\infty} f(z)= \frac{1}{2 \pi j } \int\limits_K \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } f(z)dz}\)
gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest dodatnio skierowanym względem zewnętrza okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu\(\displaystyle{ \rho>R}\), zatem
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{\infty} f(z)= -a_{-1}}\) w rozwinięciu funkcji w szereg Laurent'a w \(\displaystyle{ P(0,R,\infty)}\)
(w Teorii Obwodów \(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{\infty} f(z)= a_1}\))
Przykład 1.3
\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{\infty} z^2 e^{\frac{-1}{z}}}\)
\(\displaystyle{ e^{\frac{-1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! z^{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ a_{-1}: \quad n-2=1 \Rightarrow n=3}\)
\(\displaystyle{ a_{-1}=\frac{(-1)^3}{3!}=-\frac{1}{6}}\)
czyli:\(\displaystyle{ \mathfrak{res}_{\infty} z^2 e^{\frac{-1}{z}}=\frac{1}{6}}\)
Twierdzenie 1.1(Całkowe o residuach)
Jeżeli funckja jest holomorficzna w obszarze jednospójnym \(\displaystyle{ D}\) z wyjątkiem punktów \(\displaystyle{ z_1,...,z_n \in D \;i\;C \subset D}\) jest kawałkami gładką krzywą Jordana ograniczającą obszar zawierający punkty \(\displaystyle{ z_1,...,z_n}\), to:
\(\displaystyle{ \int\limits_C \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } f(z)dz=2 \pi j \sum_{k=1}^{n}\mathfrak{res}_{z_k}f(z)}\)
Przykład 1.4
Obliczyć \(\displaystyle{ \int\limits_C \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } z^2 e^{\frac{1}{z-j}}dz}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest okręgiem \(\displaystyle{ K(0,2)}\)
\(\displaystyle{ z^2 \exp( \frac{1}{z-j})=\;}\)\(\displaystyle{ [(z-j)^2+2jz+1] \exp( \frac{1}{z-j})=}\)\(\displaystyle{ \;[(z-j)^2+2j(z-j)-1] \exp( \frac{1}{z-j})=}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z-j)^{n-2}} +}\)\(\displaystyle{ 2j \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z-j)^{n-1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n! (z-j)}}\)
\(\displaystyle{ a_{-1}=\frac{1}{3!}+2j \frac{1}{2!}-1=\frac{-5}{6}+j=\mathfrak{res}_{j} \left(z^2 \exp( \frac{1}{z-j})\right)}\)
czyli : \(\displaystyle{ \int\limits_C \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } z^2 e^{\frac{1}{z-j}}dz=2 \pi j ( -\frac{5}{6}+j)=-2 \pi -\frac{5}{3} \pi j}\)
Przykład 1.5
Znajdź: \(\displaystyle{ I=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^2}}\)
rozważmy całkę po krzywej jak na rys:
[brak obrazka]
\(\displaystyle{ A}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{(1+z^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ B}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ C=\underbrace{C_R}_{\text{górny półokrąg}}+ \underbrace{\langle -R,R \rangle}_{\text{przedział na osi rzecz-tej}}}\)
\(\displaystyle{ C}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ ( \Large{\spadesuit}) \int\limits_{C} \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } \frac{dz}{(1+z^2)^2}\;\; = \int \limits_{\langle -R,R \rangle } \frac{dz}{(1+z^2)^2}+ \int \limits_{C_R} \frac{dz}{(1+z^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ D}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ \int\limits_{C} \!\!\!\!\! \! { \circlearrowleft } \frac{dz}{(1+z^2)^2}\;\; = 2 \pi j \cdot \mathfrak{res}_{j} \left[ \frac{1}{(1+z^2)^2} \right] = 2 \pi j \cdot \frac{1}{1!} \lim_{z \to j} \left[ (z-j)^2 \cdot \frac{1}{(z-j)^2 \cdot (z+j)^2 } \right]^{\prime}=2 \pi j \cdot \lim_{z \to j } \frac{-2(z+j)}{(z+j)^4}=\\=2 \pi j \cdot \lim_{z \to j } \frac{-2}{(z+j)^3}=2 \pi j \cdot \frac{-2}{(2j)^3}= \frac{-4 \pi j }{8 \cdot (-j)}=\frac{\pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ E}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ \int \limits_{\langle -R,R \rangle} \frac{dz}{(1+z^2)^2} = \Bigg| \Bigg| z(t)= t+ 0 \cdot j \;\Bigg|\; t \in \langle -R,R \rangle \;\Bigg|\; z'(t)=1 \Bigg|\Bigg|=\int_{-R}^{R} \frac{dt}{(1+t^2)^2}}\)\(\displaystyle{ \xrightarrow{R \to \infty}I}\)
\(\displaystyle{ F}\)..............................................................................
\(\displaystyle{ 0 \leqslant \left|\int\limits_{\smile \atop {C_R}} \frac{dz}{(1+z^2)^2} \right|= \Bigg| \Bigg| z(t)= Re^{jt} \;\Bigg|\; t \in (0, \pi) \;\Bigg|\; z'(t)=Rjr^{jt} \Bigg| \Bigg|= \left| \int\limits_0^{\pi} \frac{ Rj e^{jt}}{(1+R^2 \cdot e^{2jt})^2} \right| \leqslant}\)
\(\displaystyle{ \leqslant \pi \frac{R}{|R^2-1|^2}=\frac{\pi R}{(R^2-1)^2} \xrightarrow{R \to \infty}0}\)
\(\displaystyle{ G}\)..............................................................................
czyli z równości \(\displaystyle{ ( \Large{\spadesuit})}\) \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2} = \frac{\pi}{2}}\)
2. Całka Fourier'a
Twierdzenie 2.1 (Fourier'a)
\(\displaystyle{ \mathfrak{J}}\)eżeli funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}}\) spełnia w każdym ograniczonym przedziale \(\displaystyle{ \langle a,b \rangle}\) warunki Dirchlet'a:
\(\displaystyle{ D_1.}\) funkcja jest przedziałami monotoniczna
\(\displaystyle{ D_2.}\) funkcja posiada co najwyżej skończony zbiór punktów nieciągłości \(\displaystyle{ \{t_1,...t_v \}}\) jedynie pierwszego rodzaju.
\(\displaystyle{ D_3.}\) \(\displaystyle{ \Large{\forall}_{k \in \{1,...,n\}} \;\; f(t_k)=\frac{1}{2} \left( \underbrace{\lim_{x \to t_k^- } f(x) }_{ozn\;f(t_k^-)}+ \underbrace{\lim_{x \to t_k^+} f(x)}_{ozn \;\; f(t_k^+)} \right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} |f(t)|dt}\) jest zbieżna, to wówczas:
dla \(\displaystyle{ \forall_{t \in \mathbb{R}}}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty}d \omega \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \cos [\omega(t-\tau)] d \tau}\)
tę równość nazywamy wzorem całkowym Fourier'a