Rachunek wariacyjny - równanie Eulera Lagrange'a

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Rachunek wariacyjny - równanie Eulera Lagrange'a

Post autor: yorgin »

Rachunek wariacyjny - wyprowadzenie równania Eulera Lagrange'a


1. Wprowadzenie:


Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie unormowaną przestrzenią funkcji klasy \(\displaystyle{ C^{1}([a,b])}\) z normą
\(\displaystyle{ ||f||:=\sup\limits_{x\in [a,b]}|f(x)|+\sup\limits_{x\in [a,b]}|f'(x)|.}\)
Definiujemy funkcjonał
\(\displaystyle{ J:X\ni f \mapsto \int_a^b F(x,f(x),f'(x))dx,}\)
gdzie \(\displaystyle{ F:[a,b]\times \RR^2\to\RR}\) jest odwzorowaniem klasy \(\displaystyle{ C^2}\) w pewnym zbiorze otwartym zawierającym \(\displaystyle{ [a,b]\times \RR^2}\)



2. Twierdzenie:


Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej \(\displaystyle{ J}\) jest różniczkowalny w \(\displaystyle{ X}\).
Dowód:    


3. Ustalenie oznaczeń.


Rozważmy problem z ustalonymi końcami, tzn bierzemy podprzestrzeń afiniczną
\(\displaystyle{ A:=\{f\in X: f(a)=c \wedge f(b)=d\}}\)
\(\displaystyle{ A}\) jest afiniczną podprzestrzenią wektorową dla
\(\displaystyle{ V:=\{h\in X: h(a)=h(b)=0\}}\)
Funkcjonał \(\displaystyle{ J|_{A}}\) jest różniczkowalny, tzn
\(\displaystyle{ \lim_{||h||\to 0} \frac{|J(f+h)-J(f)=d_gJ(h)|}{||h||}=0}\)
oraz przyrosty są wektorowe, punkty mogą być afiniczne. Dalej dla uproszczenia opuszczamy symbol restryckji \(\displaystyle{ J}\) do \(\displaystyle{ A}\).




4. Równanie Eulera - Lagrange'a.


Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
d_fJ(h) & = \int_a^b\left(\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))h(x)+\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)\right)dx\\[2ex]
&= \int_a^b\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))h(x)dx+\int_a^b\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)dx\\[2ex]
&= I_1+I_2
\end{aligned}}\)
Rozważamy dalej \(\displaystyle{ I_2}\). Całkując przez części mamy:
\(\displaystyle{ \int_a^b\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)dx=\left[\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h(x)\right]_a^b - \int_a^b\frac{d}{dx}\left(\frac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))\right)h(x)dx}\)
Stąd
\(\displaystyle{ d_fJ(h)=\int_a^b \left(\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}(x,f(x),f'(x))\right)h(x)dx}\)
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego
\(\displaystyle{ d_fJ(h)=0, h\in V.}\)
Oznacza to, że całka znika dla dowolnego \(\displaystyle{ h\in V}\). A zatem (w zapisie bezargumentowym)
\(\displaystyle{ \pfrac{F}{y}-\frac{d}{dx}\pfrac{F}{y'}=0.}\)
Jest to równanie Eulera - Lagrange'a. Po zróżniczkowaniu przyjmuje ono postać:
\(\displaystyle{ \pfrac{F}{y}-\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y'}-\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial y'}y'-\frac{\partial^2 F}{\partial y'^2}y''=0}\)
Zablokowany