Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ u=u(x)}\), \(\displaystyle{ v=v(x)}\) posiadają skończone pochodne \(\displaystyle{ u'}\), \(\displaystyle{ v'}\) na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), to dla \(\displaystyle{ x\in(a,b)}\) zachodzi:\(\displaystyle{ \int u(x)v'(x)\mbox{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mbox{d}x}\),
przy załozeniu istnienia obu całek.Dowód:
Dla \(\displaystyle{ x\in(a,b)}\), korzystając z wzoru na pochodną iloczynu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left(u(x)v(x)\right)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}\),
czyli\(\displaystyle{ u(x)v'(x)=\left(u(x)v(x)\right)'-u'(x)v(x)}\).
Po obustronnym scałkowaniu mamy:\(\displaystyle{ \int u(x)v'(x)\mbox{d}x=\int \left(u(x)v(x)\right)'\mbox{d}x-\int u'(x)v(x)\mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int u(x)v'(x)\mbox{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mbox{d}x}\).
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)