Całkowanie przez podstawienie
Jeżeli:- funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na \(\displaystyle{ (a,b)}\)
- funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) ma ciągłą pochodną \(\displaystyle{ \varphi'}\) na przedziale \(\displaystyle{ (\alpha,\beta)}\), a \(\displaystyle{ \varphi[(\alpha,\beta)]=(a,b)}\),
$$\int f(x)\mbox{d}x=\int f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\mbox{d}t,$$
gdzie \(\displaystyle{ x=\varphi(t)}\), dla \(\displaystyle{ t\in(\alpha,\beta)}\).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ F(x)=\int f(x)\mbox{d}x}\), a więc \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in(a,b)}\). Funkcja złożona \(\displaystyle{ F(\varphi)}\) jest określona dla \(\displaystyle{ t\in(\alpha,\beta)}\). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}F\left(\varphi(t)\right)\stackrel{u=\varphi(t)}{=}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}u}F(u)\varphi'(t)=f(u)\varphi'(t)=f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t).}\)
Stąd: \(\displaystyle{ \int f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\mbox{d}t=F(\varphi(t))+C}\), przyjmując \(\displaystyle{ x=\varphi(t)}\) mamy:
\(\displaystyle{ \int f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\mbox{d}t=F(x)+C=\int f(x)\mbox{d}x.}\)
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)