Nielinowe styczne i asymptoty

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Nielinowe styczne i asymptoty

Post autor: JakimPL »

Nudzą Cię styczne i asymptoty w kształcie prostych? Może chciałbyś wyznaczać takie krzywe, które kształtem są dowolne? Świetnie, ten temat jest dla Ciebie!

Zanim przejdziemy dalej, przypomnijmy sobie, czym była styczna (funkcji różniczkowalnej). Za :

Równanie stycznej do krzywej \(\displaystyle{ f(x)}\) określonej w punkcie \(\displaystyle{ P =(x_0, y_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ y_0 = f(x_0)}\), ma postać:

\(\displaystyle{ y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)}\)

funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) nazywamy prostą \(\displaystyle{ y=a x + b}\) dla \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)}\)

o ile powyższe granice są właściwe.

Teraz będę musiał prosić o cierpliwość. Do wyznaczania "nowych stycznych" będzie potrzebne wprowadzenie pewnego konstruktu i niezbędnych operacji. Gotowi na nowe, nudne definicje? To zaczynamy.

Rozważmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) różnowartościową z funkcją odwrotną \(\displaystyle{ f^{-1}}\). Transformatorem funkcji \(\displaystyle{ g}\) względem funkcji \(\displaystyle{ f}\) nazywamy operator zdefiniowany w następujący sposób:

\(\displaystyle{ {\bf f}(g) = f\circ g\circ f^{-1}}\)

Jak to działa? Rozważmy sobie \(\displaystyle{ f(x)=\arctan x}\) (funkcja odwrotna to oczywiście \(\displaystyle{ \tan x}\)) oraz \(\displaystyle{ g(x)=e^x}\).

Wtedy zgodnie z definicją:

\(\displaystyle{ {\bf f}(g)(x)=\arctan (e^{\tg x})}\)

Nie zawsze funkcja może być dobrze określona, np. biorąc \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=-x}\) mamy:

\(\displaystyle{ \ln\left(-e^x\right)}\)

które nie jest nigdzie określone dla liczb rzeczywistych. Ale nie będziemy się nad tym rozwodzić - wszystkie dalsze fakty będą zachodzić dla funkcji "ładnych", czyli takich, dla których transformacje mają sens. W dalszej części będziemy zakładać, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.

Zauważmy, że jako \(\displaystyle{ g}\) możemy wstawić działania dobrze nam znane: \(\displaystyle{ +}\), \(\displaystyle{ \cdot}\) itd. - to będzie kluczem naszych dalszych rozważań. Rozwińmy dodawanie:

\(\displaystyle{ {\bf f}(+)}\) jest transformatą funkcji dwuargumentowej \(\displaystyle{ g(x,y)=x+y}\). Stąd, z definicji:

\(\displaystyle{ {\bf f}(g(x,y))=f\big(g(f^{-1}(x),f^{-1}(y)\big)=f\big(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)\big)}\)

Analogicznie możemy zdefiniować dalsze działania. Dla klarowności zapisu przyjmijmy, iż \(\displaystyle{ \oplus = {\bf f}(+)}\), \(\displaystyle{ \odot = {\bf f}(\cdot)}\) oraz \(\displaystyle{ \oslash = {\bf f}(:)}\). Elementy neutralne działań, tj. \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) także przechodzą na swoje odpowiedniki, oznaczane w następujący sposób:

\(\displaystyle{ f(0)={\bf 0}}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)={\bf 1}}\)

W ogólności będziemy oznaczać \(\displaystyle{ f(a)={\bf a}}\).

Dociekliwy Czytelnik może się przekonać, że w istocie \(\displaystyle{ {\bf a}\oplus {\bf 0}={\bf a}}\) oraz \(\displaystyle{ {\bf a}\odot {\bf 1}={\bf a}}\). Na końcu artykułu załączone są proste własności każdego transformatora.

Ok, mamy sobie jakiś transformator oraz jakieś działania w nim. Tylko co to ma wspólnego ze stycznymi bądź asymptotami?

Cierpliwości. Wszystko będzie logiczną konsekwencją. Mamy już działania, ale, patrząc na wzór stycznej, potrzebować będziemy konstruktu w nowej przestrzeni: pochodnej. Zdefiniujmy sobie pochodną funkcji \(\displaystyle{ g}\) jako:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\lim_{h\to 0} \, f\left(\frac{f^{-1}(g(x+h))-f^{-1}(g(x))}{h}\right)=\lim_{h\to 0} \, (g(x+h)\ominus g(x)) \oslash f(h)}\)

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ g^{[0]} = g}\), \(\displaystyle{ g^{[1]} = g^{\circ}}\), \(\displaystyle{ g^{[2]} = g^{\circ\circ}}\) etc.

Przykład. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+1}}\) (po uproszczeniu \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\frac{1-x}{x}}\)). Zgodnie z definicją pochodną funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest funkcja:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\lim_{h\to 0} \, \frac{h g(x) g(x+h)}{(h g(x)-1) g(x+h)+g(x)}}\)

Wyznaczmy pochodną funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x}\) z definicji. Podstawiając:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\lim_{h\to 0} \, \frac{h x (x+h)}{(h x-1) (x+h)+x}}\)
\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\lim_{h\to 0} \, \frac{1}{x (h+x)-1}+1}\)
\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\frac{1}{x^2-1}+1}\)
\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\frac{x^2}{x^2-1}}\)

Stąd pochodna \(\displaystyle{ g(x)=x}\) w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest równa \(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\frac{x^2}{x^2-1}}\).

Liczenie granic w takiej formie jest toporne. Na szczęście można wykazać, że do liczenia granic w nowej przestrzeni możemy użyć klasycznych pochodnych.

Twierdzenie. Dla każdej ciągłej funkcji \(\displaystyle{ f}\) i dowolnej \(\displaystyle{ g}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=f\left(\left[f^{-1}(g(x))\right]'\right)}\)

Dowód. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, zatem można wejść z granicą pod funkcję:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=f\left(\lim_{h\to 0} \, \frac{f^{-1}(g(x+h))-f^{-1}(g(x))}{h}\right)}\)

Granica przedstawia pochodną funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(g(x))}\), stąd też:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=f\left(\left[f^{-1}(g(x))\right]'\right)}\)

Co należało pokazać. \(\displaystyle{ \spadesuit}\)

Jest to bardzo pomocne twierdzenie. przyspieszające znacznie rachunki. Dla \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) jak z powyższego przykładu, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\frac{1}{\left(\left[\frac{1-x}{x}\right]'\right)+1}}\)

\(\displaystyle{ \left[\frac{1-x}{x}\right]'=-\frac{1}{x^2}}\), stąd:

\(\displaystyle{ g^{\circ}(x)=\frac{1}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)+1}=\frac{1}{\frac{x^2-1}{x^2}}=\frac{x^2}{x^2-1}}\)

Własności pochodnych załączyłem na samym dole (załącznik 2).

Mając pochodne, niedługa droga do otrzymania stycznych. Zdefiniujmy jeszcze funkcje proste w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Definicja. Dla dowolnej różnowartościowej funkcji \(\displaystyle{ f}\) funkcją prostą w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) nazywamy funkcję postaci:

\(\displaystyle{ {\bf f}\left(W_1(x)\right)={\bf a}\odot {\bf x} \oplus {\bf b}}\)

Widzimy, że jest to analog równania klasycznej prostej (a takimi krzywymi są właśnie asymptoty i styczne) \(\displaystyle{ W_1(x) = a\, x + b}\). Jest to też wielomian stopnia pierwszego w tym rachunku.

Uwaga. Funkcje proste mają pochodną równą \(\displaystyle{ {\bf a}}\) (patrz załącznik 2 punkt 6).

Czy już możemy przejść do stycznych?

Tak, zdefiniujmy wreszcie nasz żądany obiekt.

Definicja. Styczną rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) różniczkowalnej funkcji \(\displaystyle{ g}\) nazywamy krzywą \(\displaystyle{ h}\) o równaniu:

\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(x_0)\odot f(x-x_0)\oplus g(x_0)}\)

Uwaga. Styczna jest funkcją prostą.

Dowód. Aby to pokazać, rozpiszemy wzór stycznej używając operacji algebraicznych rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) (m.in. prawa rozdzielności; patrz załącznik 1 punkt 7).

\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(x_0)\odot f(x-x_0)\oplus g(x_0)}\)
\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(x_0)\odot ({\bf x}\ominus{\bf x_0}) \oplus g(x_0)}\)
\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(x_0)\odot {\bf x}\ominus g^{\circ}(x_0)\odot {\bf x_0} \oplus g(x_0)}\)
\(\displaystyle{ h(x)=\underbrace{g^{\circ}(x_0)}_{\bf a} \ \odot {\bf x} \ \underbrace{\oplus g(x_0) \ominus g^{\circ}(x_0)\odot {\bf x_0}}_{\bf b}}\)

A więc jest postaci \(\displaystyle{ {\bf a}\odot {\bf x} \oplus {\bf b}}\), co należało pokazać. \(\displaystyle{ \spadesuit}\)

Przykład. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\arctan x}\). Wyznaczmy styczną rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) do \(\displaystyle{ h}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 1}\) z powyższego równania:

\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(1)\odot f(x-1)\oplus g(1)}\)

Pochodna \(\displaystyle{ \arctan x}\) wynosi \(\displaystyle{ \ln \left(\frac{e^{\arctan(x)}}{x^2+1}\right)}\), a zatem:

\(\displaystyle{ h(x)=\ln \left(\frac{e^{\arctan(1)}}{1^2+1}\right)\odot f(x-1)\oplus g(1)=\ln \left(\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{2}\right)\odot\ln (x-1)\oplus \arctan 1}\)
\(\displaystyle{ \ln \left(\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{2}\right)\odot\ln (x-1)\oplus \arctan 1=\ln\left(\frac{1}{2} e^{\frac{\pi}{4}} (x-1)+e^{\frac{\pi}{4}}\right)=\ln\left(e^{\frac{\pi}{4}}\frac{x+1}{2}\right)=\frac{\pi }{4}+\ln(x+1)-\ln (2)}\)


Funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\arctan x}\) zaznaczona na niebiesko oraz styczna \(\displaystyle{ h(x)=\frac{\pi }{4}+\ln(x+1)-\ln (2)}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left(1,\frac{\pi}{4}\right)}\).

Uwaga. Szukana krzywa może nie istnieć. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\arctan x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=x^2+2}\). Szukając równania stycznej w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(0)\odot f(x)\oplus g(0)}\)

Przekształcając równoważnie (\(\displaystyle{ \displaystyle \left(x^2+2\right)^{\circ}=\arctan\left(\frac{2 x}{\cos^2\left(x^2+2\right)}\right)}\), dla \(\displaystyle{ x_0 =0}\) \(\displaystyle{ g^{\circ}(0)=0}\)):

\(\displaystyle{ h(x)=0\odot f(x)\oplus g(0)=0 \oplus 2=\arctan(\tg 0 + \tg 2)}\)

Ale \(\displaystyle{ 2}\) nie należy do dziedziny \(\displaystyle{ f^{-1}}\), tj. \(\displaystyle{ {\rm rg}\, f=\left(-\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi}\right)\not\ni 2}\). Należy zawsze sprawdzać przynależność do dziedziny zadanej funkcji \(\displaystyle{ f}\), jeżeli nie rozważa się tylko tych funkcji, dla których transformator jest całkowicie odwracalny, tj. \(\displaystyle{ f}\) nie jest bijekcją \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Przykład. Powyższa definicja stycznej może być podstawą do zdefiniowania stycznych hiperbolicznych będących fragmentami hiperboli, gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\). Równanie ogólne stycznej przedstawia się jako:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{x-c}{f^{\circ}(c)}+\frac{1}{g(c)}}=\frac{a}{b+x}}\)

dla \(\displaystyle{ a=g^{\circ}(c)}\) oraz \(\displaystyle{ b=\frac{g^{\circ}(c)}{g(c)}-c}\).

Twierdzenie (warunki równoważne na to, by funkcja prosta była styczną). Niech dana będzie struktura uformowana przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) w obrębie pewnego podzbioru \(\displaystyle{ D\subseteq\mathbb{R}}\), dwie różniczkowalne funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) oraz pewien punkt

\(\displaystyle{ x_0\in D}\). Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. \(\displaystyle{ h}\) jest styczną do \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{x\in D}\ h^{\circ}(x) = g^{\circ}(x_0) \wedge g(x_0)=h(x_0)}\)

Dowód. \(\displaystyle{ (1\Rightarrow 2)}\)
Niech \(\displaystyle{ h}\) będzie styczną do funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Z definicji stycznej \(\displaystyle{ h}\) spełnia:

\(\displaystyle{ h(x)=g^{\circ}(x_0)\odot f(x-x_0)\oplus g(x_0)}\)

z czego wynika bezpośrednio równość dla \(\displaystyle{ x_0}\):

\(\displaystyle{ h(x_0)=g^{\circ}(x_0)\odot f(0)\oplus g(x_0)=g(x_0)}\)

Różniczkując stronami:

\(\displaystyle{ h^{\circ}(x)=\bigg[g^{\circ}(x_0)\odot f(x-x_0)\bigg]^{\circ}\oplus \bigg(g(x_0)\bigg)^{\circ}=g^{\circ}(x_0)\odot{\bf 1}\oplus{\bf 0} = g^{\circ}(x_0)}\)

\(\displaystyle{ (2\Rightarrow 1)}\)
Niech \(\displaystyle{ h}\) spełnia warunki: \(\displaystyle{ \forall_{x\in D}\ h^{\circ}(x) = g^{\circ}(x_0) \wedge g(x_0)=h(x_0)}\). Wiedząc, że pochodna jest stała, możemy przewidzieć, że funkcja pierwotna, tj. taka, że \(\displaystyle{ H^{\circ}(x)=h(x)}\), jest postaci \(\displaystyle{ g^{\circ}(x_0)\odot f(x)\oplus {\bf b}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ {\bf b}}\) (patrz załącznik 2 punkt 6; Operacja znajdowania funkcji pierwotnej jest niczym innym jak całkowaniem. Nie będziemy jednak wprowadzać tego pojęcia na tym etapie i przyjmiemy, że operacja ta jest ściśle analogiczna do operacji klasycznego wyznaczania funkcji pierwotnej).

\(\displaystyle{ \bigg[\forall_{x\in D}\ h^{\circ}(x) = g^{\circ}(x_0)\bigg] \Rightarrow \bigg[\forall_{x\in D}\ h(x) = g^{\circ}(x_0) \odot f(x)\oplus {\bf b}\bigg]}\)

Podstawiając za argument \(\displaystyle{ x_0}\) oraz łącząc to z drugim warunkiem, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ h(x_0) = f(x_0)\odot g^{\circ}(x_0)\oplus {\bf b}}\)
\(\displaystyle{ h(x_0) \ominus f(x_0)\odot g^{\circ}(x_0) = {\bf b}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ h(x) = f(x)\odot g^{\circ}(x_0)\oplus h(x_0) \ominus f(x_0)\odot g^{\circ}(x_0)}\)
\(\displaystyle{ h(x) = f(x-x_0)\odot g^{\circ}(x_0)\oplus h(x_0)}\)

A skoro \(\displaystyle{ g(x_0)=h(x_0)}\):

\(\displaystyle{ h(x) = g^{\circ}(x_0)\odot f(x-x_0) \oplus g(x_0)}\)

co stanowi definicję stycznej. \(\displaystyle{ \spadesuit}\)

Prawdziwe pozostaje też kolejne twierdzenie.

Twierdzenie. Niech \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) będą funkcjami różnowartościowymi takimi, że na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ D\subseteq \mathbb{R}}\) ich transformatory są całkowicie odwracalne oraz \(\displaystyle{ g(1)\in D}\) jest określone. Jeżeli \(\displaystyle{ h}\) jest styczną funkcji \(\displaystyle{ g}\) w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) w ustalonym punkcie \(\displaystyle{ x_0\in D}\), to \(\displaystyle{ g}\) jest styczną w rachunku funkcji \(\displaystyle{ g}\) do \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ x_0}\).

Pozostawiam to bez dowodu.

No... ok, a co z asymptotami?

Dobrze, zatem zdefiniujmy kolejne funkcje proste będące analogiem asymptot ukośnych.

Definicja. Asymptotą funkcji \(\displaystyle{ g}\) w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) nazywamy krzywą o równaniu ogólnym:

\(\displaystyle{ h(x)={\bf a} \odot f(x) \oplus {\bf b}}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ {\bf a}}\), \(\displaystyle{ {\bf b}}\) takich, że:

\(\displaystyle{ {\bf a} = \lim_{x\to\infty} g(x)\oslash f(x)}\)
\(\displaystyle{ {\bf b} = \lim_{x\to\infty} g(x)\ominus {\bf a} \odot f(x)}\)

Widzimy, że zastępując \(\displaystyle{ \ominus}\) zwykłym odejmowaniem. \(\displaystyle{ \odot}\) mnożeniem oraz \(\displaystyle{ \oslash}\) dzieleniem, dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) otrzymujemy klasyczną asymptotę ukośną.

Oczywiście, asymptota może nie istnieć: np. gdy nie istnieją właściwe granice \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Może się zdarzyć, iż mimo istnienia \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja \(\displaystyle{ h}\) nie jest asymptotą, dlatego należy sprawdzać warunek asymptoty:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}g(x) \ominus h(x)={\bf 0}}\)

Jeżeli granice jest różna od \(\displaystyle{ {\bf 0}}\), to znaczy, iż asymptota nie istnieje.

Uwaga. Asymptota może nie spełniać naszych oczekiwań. Zauważmy, iż, idąc w stronę nieskończoności, odległość między funkcjami zmniejsza się, lecz w sensie metryki funkcji \(\displaystyle{ f}\) (definicja metryki w załącznikach).

Przykład. Dobierzmy \(\displaystyle{ f(x)=e^x=\exp x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\cosh x}\). Naszym celem będzie wyznaczenie wykładniczej asymptoty funkcji \(\displaystyle{ g}\) w nieskończoności. Wyznaczając \(\displaystyle{ {\bf a}}\):

\(\displaystyle{ {\bf a} = \lim_{x\to\infty} \cosh x \oslash \exp x= \lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{\cosh (x)}=e}\)

oraz \(\displaystyle{ {\bf b}}\):

\(\displaystyle{ {\bf b} = \lim_{x\to\infty} \cosh x \ominus e \odot \exp x= \lim_{x\to\infty}\cosh \ominus \exp x=\lim_{x\to\infty}\exp(-x) \cosh (x)=\frac{1}{2}}\)

Stąd \(\displaystyle{ h(x)=e\odot x\oplus \frac{1}{2} = \frac{e^x}{2}}\).


Funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\cosh x}\) (na niebiesko) wraz z asymptotą \(\displaystyle{ h(x)=\frac{e^x}{2}}\).

To tylko wycinek własności takiego transformatora. Nie musimy się ograniczać do wyznaczania funkcji prostych, możemy zdefiniować grupy, ciała, całki, szeregi czy nawet równania różniczkowe... ale może o tym kiedy indziej. Dodam tylko, że z tego operatora da się "wyprowadzić" rachunek multiplikatywny, tj. dla \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\), który przekształca dodawanie na mnożenie, odejmowanie na iloraz, a mnożenie na potęgowanie.

Na koniec zostawiam problem.

Problem. Czy dla każdej różnowartościowej funkcji \(\displaystyle{ f}\) przez dwa punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ \big(f(x_1),f(y_1)\big)}\) oraz \(\displaystyle{ \big(f(x_2),f(y_2)\big)}\) takich, że \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\), przechodzi dokładnie jedna funkcja prosta rachunku \(\displaystyle{ f}\)?

Załącznik 1. Dla dowolnego, dobrze określonego \(\displaystyle{ {\bf a}}\) i \(\displaystyle{ {\bf b}}\) zachodzi:

1. \(\displaystyle{ \forall_{{\bf a},{\bf b}}\, \exists \, ({\bf a} \oplus {\bf b}) \Rightarrow {\bf a} \oplus {\bf b} = {\bf b} \oplus {\bf a}}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{{\bf a},{\bf b}}\, \exists \, ({\bf a} \odot {\bf b}) \Rightarrow {\bf a} \odot {\bf b} = {\bf b} \odot {\bf a}}\)
3. \(\displaystyle{ \exists \, {\bf 0} \Rightarrow \forall_{{\bf a}}\, {\bf a} \oplus {\bf 0} = {\bf a}}\)
4. \(\displaystyle{ \exists \, {\bf 1} \Rightarrow \forall_{{\bf a}}\, {\bf a} \odot {\bf 1} = {\bf a}}\)
5. \(\displaystyle{ \forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c}}\, \exists \, ({\bf a} \oplus ({\bf b} \oplus {\bf c})) \Rightarrow {\bf a} \oplus ({\bf b} \oplus {\bf c})= ({\bf a} \oplus {\bf b}) \oplus {\bf c}}\)
6. \(\displaystyle{ \forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c}}\, \exists \, ({\bf a} \odot ({\bf b} \odot {\bf c})) \Rightarrow {\bf a} \odot ({\bf b} \odot {\bf c})= ({\bf a} \odot {\bf b}) \odot {\bf c}}\)
7. \(\displaystyle{ \forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c}}\, \exists \, ({\bf a} \odot ({\bf b} \oplus {\bf c})) \Rightarrow {\bf a} \odot ({\bf b} \oplus {\bf c})= ({\bf a} \odot {\bf b}) \oplus ({\bf a} \odot {\bf c})}\)

Dodatkowo, jeżeli istnieją \(\displaystyle{ {\bf 0}}\) oraz \(\displaystyle{ {\bf 1}}\):
8. \(\displaystyle{ {\bf 0} \neq {\bf 1}}\)
9. \(\displaystyle{ {\bf a} \odot {\bf 0} = {\bf 0}}\)
10. \(\displaystyle{ {\bf a} \odot {\bf b} = {\bf 0} \Rightarrow {\bf a} = {\bf 0} \lor {\bf b} = {\bf 0}}\)
11. \(\displaystyle{ (\ominus(\ominus {\bf a})) = {\bf a}}\)
12. \(\displaystyle{ {\bf a} \neq {\bf 0} \Rightarrow \left({\bf a}^{\underline{-1}}\right)^{\underline{-1}} = {\bf a}}\)

gdzie \(\displaystyle{ {\bf a}^{\underline{-1}}}\) to element odwrotny w tym rachunku. Dowody tych własności są proste.

Załącznik 2. Własności pochodnych rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ g}\), \(\displaystyle{ h}\) różniczkowalnych:

1. \(\displaystyle{ ({\bf 1})^{\circ} = {\bf 0}}\)
2. \(\displaystyle{ \big({\bf a} \odot g(x)\big)^{\circ} = {\bf a} \odot g^{\circ}(x)}\) (jednorodność)
3. \(\displaystyle{ \big(g(x)\oplus h(x)\big)^{\circ} = g^{\circ}(x) \oplus h^{\circ}(x)}\) (addytywność)
4. \(\displaystyle{ \big({\bf a} \odot g(x)\oplus {\bf b}\odot h(x)\big)^{\circ} = {\bf a} \odot g^{\circ}(x) \oplus {\bf b} \odot h^{\circ}(x)}\) (liniowość)
5. \(\displaystyle{ \big(f^{\circ}(x))={\bf 1}}\)
6. \(\displaystyle{ \big({\bf a} \odot f(x) \oplus {\bf b})={\bf a}}\)
7. \(\displaystyle{ \left(g(x) \odot h(x)\right)^{\circ} = g^{\circ}(x)\odot h(x)\oplus g(x)\odot h^{\circ}(x)}\) (pochodna iloczynu)
8. \(\displaystyle{ (g\circ h)^{\circ}(x)=g^{\circ}\big(h(x)\big)\odot f\big(h'(x)\big)}\) (pochodna złożenia)

Własności te można wyprowadzić z definicji pochodnej. Pozostawiam to jako ćwiczenie.

Załącznik 3. Możemy sobie wyznaczyć "odległości" między liczbami transformowanymi. Uprzednio jednak niezbędnie będzie zdefiniowanie relacji porządku oraz wartości bezwzględnej w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Definicja. Element \(\displaystyle{ x}\) z liniowo uporządkowanego relacją \(\displaystyle{ \leqslant}\) zbioru \(\displaystyle{ K}\) nazywamy niewiększym od \(\displaystyle{ y \in f(K)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi:

\(\displaystyle{ x \preceq y \Leftrightarrow f(x)\leqslant f(y)}\)

W sposób oczywisty definiuje się silną mniejszość oraz większość (także i silną). Porządek ten jest liniowy oraz jest dobrze zdefiniowany (nie należy mylić z dobrym porządkiem) z racji różnowartościowości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Przykład. Pokażemy, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz pewnego \(\displaystyle{ {\bf a}}\), o ile tylko istnieje \(\displaystyle{ f(1)}\) oraz \(\displaystyle{ {\bf a} \oplus {\bf 1}}\), zachodzi:

\(\displaystyle{ {\bf a} \oplus {\bf 1} \succ {\bf a}}\)
\(\displaystyle{ {\bf a} \oplus {\bf 1} = f(f^{-1}({\bf a})+f^{-1}({\bf 1}))= f(f^{-1}({\bf a}) + 1)}\)

Oczywiście, \(\displaystyle{ f^{-1}({\bf a}) + 1 > f^{-1}({\bf a})}\), stąd z definicji \(\displaystyle{ {\bf a} \oplus {\bf 1} \succ {\bf a}}\).

Nierówności można mnożyć (\(\displaystyle{ \odot}\)) stronami, pamiętając o zmianie "znaku" (\(\displaystyle{ \odot ({\bf -1})}\)), jeżeli skalar jest ujemny w relacji porządku struktury \(\displaystyle{ \preceq}\).

Definicja. Niech \(\displaystyle{ {\rm abs}\, x}\) oznacza wartość bezwzględną: \(\displaystyle{ |x|}\). Wtedy funkcję \(\displaystyle{ {\bf f}({\rm abs})(x)}\)

określoną poniższym wzorem nazywamy wartością bezwzględnej w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\):

\(\displaystyle{ {\bf f}({\rm abs})(x) = f\left(\left|f^{-1}(x)\right|\right)}\)

Uwaga. Może się zdarzyć, iż funkcja moduł przejdzie na funkcję identyczności, tj.:

\(\displaystyle{ \forall_x\, {\bf f}({\rm abs})(x)=x}\)

np. w rachunku funkcji \(\displaystyle{ \ln x}\) dla dziedziny rzeczywistej. Dla dziedziny zespolonej prawdziwe jest wyrażenie \(\displaystyle{ {\bf f}({\rm abs})(x)=\Re(x)}\).

Za pomocą wartości bezwzględnej można zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ \max}\) oraz \(\displaystyle{ \min}\):

\(\displaystyle{ {\bf \rm{max}}(x,y) = \big(x\oplus y \oplus {\bf f}({\rm abs})(x\ominus y)\big)\oslash {\bf 2}}\)
\(\displaystyle{ {\bf \rm{min}}(x,y) = \big(x\oplus y \ominus {\bf f}({\rm abs})(x\ominus y)\big)\oslash {\bf 2}}\)

Definicja. Metryką w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f}\) nazywamy funkcję:

\(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y)=f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\right)}\)

Pod tym, zdawałoby się, skomplikowanym wyrażeniem kryje się prosta zależność: jest to złożenie transformaty różnicy z wartością bezwzględną. Rozważmy przykład.

Przykład. Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\exp(x)}\) (rachunek multiplikatywny), zgodnie z podanym wzorem, otrzymujemy metrykę ilorazową \(\displaystyle{ d^*(x,y)=\exp\left(\left|\ln x-\ln y\right|\right)}\), która określa stosunek długości liczb dodatnich. Niech \(\displaystyle{ a=12}\) oraz \(\displaystyle{ b=48}\), wtedy:

\(\displaystyle{ d^*(12,48)=\exp\left(\left|\ln 12-\ln 48\right|\right)=\exp\left(\left|\ln \frac{12}{48}\right|\right)=\exp\left(\ln \frac{48}{12}\right)=\frac{48}{12}=4}\)

Twierdzenie (cechy metryki uformowanej). Każda metryka uformowana przez dowolną różnowartościową funkcję \(\displaystyle{ f}\) spełnia następujące cechy:

1. \(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) = {\bf 0} \Leftrightarrow x = y}\)
2. \(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) = {\bf f}(d)(y,x)}\)
3. \(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) \oplus {\bf f}(d)(y,z) \succeq {\bf f}(d)(x,z)}\)

Dowód. Dowód tych własności opiera się na wykorzystaniu definicji, różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) oraz własności funkcji \(\displaystyle{ {\rm abs}}\).

1. Przypuśćmy \(\displaystyle{ x=y}\), wtedy na mocy różnowartościowości funkcji \(\displaystyle{ f}\) mamy równoważnie prawdziwą równość:

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)-f^{-1}(y)=0}\)

Możemy równoważnie obłożyć lewą stronę modułem:

\(\displaystyle{ \left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|=0}\)

Po raz kolejny z różnowartościowości funkcji, powyższe wyrażenie równoważne jest:

\(\displaystyle{ f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\right)=f(0)}\)

\(\displaystyle{ f(0)={\bf 0}}\), a \(\displaystyle{ f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\right)={\bf f}(d)(x,y)}\), a zatem \(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) = {\bf 0}}\). Powyższe kroki były równoważne, stąd otrzymujemy prawdziwość tezy w obie strony.

2. Wykorzystując definicję metryki:

\(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) = f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\right)}\)

Korzystając z równości dla modułu \(\displaystyle{ |a-b|=|b-a|}\) oraz po raz kolejny z definicji:

\(\displaystyle{ f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|\right)=f\left(\left|f^{-1}(y)-f^{-1}(x)\right|\right)={\bf f}(d)(y,x)}\)

3. Przenieśmy prawą stronę na lewo:

\(\displaystyle{ {\bf f}(d)(x,y) \oplus {\bf f}(d)(y,z) \ominus {\bf f}(d)(x,z)\succeq {\bf 0}}\)

Wtedy po rozpisaniu, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f\left(\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|+\left|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\right|-\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(z)\right|\right)\succeq {\bf 0}}\)

co z definicji porządku równoważne jest:

\(\displaystyle{ \left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right|+\left|f^{-1}(y)-f^{-1}(z)\right|-\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(z)\right| \geqslant 0}\)

Powyższa nierówność zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ z}\) na mocy nierówności trójkąta funkcji \(\displaystyle{ {\rm abs}}\) (dla argumentów \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\), \(\displaystyle{ f^{-1}(y)}\), \(\displaystyle{ f^{-1}(z)}\)).

Wszystkie cechy zostały potwierdzone, co kończy dowód. \(\displaystyle{ \spadesuit}\)


Odległość pionowa (czarny kolor) między funkcjami \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ e^x}\) w rachunku funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+1}}\) zmierza do \(\displaystyle{ {\bf 0}}\), tj. \(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}{\bf f}(d)(x^2,e^x)= {\bf 0}}\). W sensie metryki \(\displaystyle{ f}\) funkcje \(\displaystyle{ x^2}\) i \(\displaystyle{ e^x}\) mają identyczne asymptotyczne tempo wzrostu. Rozpisując tę odległość, można pokazać, iż zachodzi \(\displaystyle{ \cosh x - \sinh < 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\).

Załącznik 4. Gdyby ktoś był zainteresowany, załączam zestaw funkcji do programu \(\displaystyle{ \textrm{Wolfram Mathematica}}\), który umożliwia podstawowy rachunek w strukturze uformowanej przez \(\displaystyle{ f}\).

Kod: Zaznacz cały

f:=Exp[#]& (*domyślnie rachunek multiplikatywny*)
CirclePlus[x_,y_]:=f[InverseFunction[f][x]+InverseFunction[f][y]] (*dodawanie w rachunku funkcji f (symbol [CirclePlus])*)
CircleMinus[x_,y_]:=f[InverseFunction[f][x]-InverseFunction[f][y]] (*odejmowanie w rachunku funkcji f (symbol [CircleMinus])*)
CircleDot[x_,y_]:=f[InverseFunction[f][x]InverseFunction[f][y]] (*odejmowanie w rachunku funkcji f (symbol [CircleDot])*)
Diamond[x_,y_]:=f[InverseFunction[f][x]/InverseFunction[f][y]] (*dzielenie w rachunku funkcji f (symbol [Diamond])*)
CircleTimes[x_,y_]:=f[InverseFunction[f][x]^InverseFunction[f][y]] (*potęgowanie w rachunku funkcji f (symbol [CircleTimes])*)
metric[x_,y_]:=Evaluate[f[Abs[InverseFunction[f][x]-InverseFunction[f][y]]]] (*odległość między punktami w rachunku f*)
abs[x_]:=Evaluate[f[Abs[InverseFunction[f][x]]]] (*wartość bezwzględna w f*)
max[x_,y_]:=((x[CirclePlus]y)[CirclePlus]abs[x[CircleMinus]y])[Diamond]f[2] (*max bezwzględna w f*)
min[x_,y_]:=((x[CirclePlus]y)[CircleMinus]abs[x[CircleMinus]y])[Diamond]f[2] (*min bezwzględna w f*)
isgreater[x_,y_]:=TrueQ[g[x]-g[y]>=0] (*sprawdzania wiekszości*)
sum[c_,k_]:=f[Sum[InverseFunction[f][c] ,k]] (*suma*)
prod[c_,k_]:=f[Product[InverseFunction[f][c] ,k]] (*produkt*)
dot[x_List,y_List]:=If[Length[x[[1]]]==Length[y[[1]]],f[Sum[InverseFunction[f][x[[1]][[k]][CircleDot]y[[1]][[k]]],{k,1,Length[x[[1]]]}]]] (*iloczyn skalarny*)
sqrt[x_]:=f[Sqrt[InverseFunction[f][x]]] (*pierwiastek*)

g[x_]:=Cosh[x]  (*funkcja transformowana*)
Print["Dziedzina: ",Domain[x_]=Reduce[Element[InverseFunction[f][x],Reals],x,Reals]]
Print["Obraz: ",Rang[x_]=Reduce[Element[f[x],Reals],x,Reals]]
If[And[Reduce[ForAll[x,Element[x,Reals],Domain[g[x]]]] ,Reduce[ForAll[x,Element[g[x],Reals]&& Rang[x],Rang[g[x]]]]],Print["Funkcja odwracalna w R"],Print[Style["FUNKCJA NIEODWRACALNA W R",Red]]]
(*Print["Pochodna: ",Deriv=Simplify[Limit[f[InverseFunction[f][f[InverseFunction[f][g[x+h]]-InverseFunction[f][g[x]]]]/h],h->0]]]*)
(*Print["Metryka: ",Metric=Simplify[f[Abs[InverseFunction[f][x]-InverseFunction[f][y]]]]]*)
Print["Zero: ",zero=Limit[f[x],x->0]]
Print["Jedynka: ",one=Limit[f[x],x->1]]
Print["Funkcja przekształcona: ",Operator[x_]=Simplify[f[g[InverseFunction[f][x]]],Domain[x]]]
Print["Pochodna: ",DOperator[x_]=FullSimplify[f[Evaluate[D[InverseFunction[f][g[x]],x]]],Domain[x]]]
Print["Całka: ",IOperator[x_]=FullSimplify[f[Evaluate[Integrate[InverseFunction[f][g[x]],x]]],Domain[x]]]

calka[g_,x_]:=FullSimplify[f[Evaluate[Integrate[InverseFunction[f][g],x]]],Domain[x]]
pochodna[g_,x_]:=FullSimplify[f[Evaluate[D[InverseFunction[f][g],x]]],Domain[x]]

a:=Limit[g[x][Diamond] f[x],x->Infinity]
b:=Limit[g[x][CircleMinus] a[CircleDot]f[x],x->Infinity]
h[x_]=Simplify[a[CircleDot]f[x][CirclePlus]b];
If[Limit[h[x][CircleMinus]g[x],x->Infinity]==f[0],Print["Asymptota istnieje: ",h[x]],Print[Style["Asymptota nie istnieje.",Red]]]

styczna[c_,l_,r_]:=Module[{},y[x_,x0_]:=DOperator[x0][CircleDot]f[x-x0][CirclePlus]g[x0];Print[y[x,c]];Show[{Plot[{y[x,c],g[x
]},{x,l,r},PlotStyle->{{Thick,Red},{Thick,Blue}},LabelStyle->(FontFamily->"Courier")],ListPlot[{{c,g[c]}},PlotStyle->{Black,PointSize[1/80]}]},ImageSize->450]]
asymptota[l_,r_]:=Show[{Plot[{h[x],g[x]},{x,l,r},PlotStyle->{{Thick,Red},{Thick,Blue}},LabelStyle->(FontFamily->"Courier")]},ImageSize->450]
PS Jeżeli dotarłeś tutaj, czytając całość - gratulacje, uzyskałeś kolejny poziom w profesji Czytelnik!
Zablokowany