Temat: Całka krzywoliniowa nieskierowana
Niech \(\displaystyle{ L}\) bedzie łukiem zwykłym ( bez przecięć ) , gładkim ( w każdym punkcie istnieje dokładnie jedna prosta styczna do łuku) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\), o przedstawieniu parametrycznym :
\(\displaystyle{ x=x(t), \; y=y(t), \; t \in \langle \alpha, \beta \rangle}\)
gdzie funkcje \(\displaystyle{ x,y \; \in C^1(\langle \alpha, \beta \rangle)}\)
Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) bedzie określona i ograniczona na łuku \(\displaystyle{ L}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \Delta_n}\) podział na \(\displaystyle{ n}\)-części przedziału \(\displaystyle{ \langle \alpha, \beta \rangle}\) punktami \(\displaystyle{ t_k}\), takimi że:
\(\displaystyle{ \alpha=t_0<t_1<...<t_n=\beta}\),
temu podziałowi \(\displaystyle{ \Delta_n}\) odpowiada podział łuku \(\displaystyle{ L}\) punktami \(\displaystyle{ A_k(x(t_k),y(t_k))}\) na łuki \(\displaystyle{ \overset{\smile}{A_{k-1}A_k}}\).
Długość łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{A_{k-1}A_k}}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ \Delta l_k}\) wyraża się wzorem :
\(\displaystyle{ \Delta l_k=\int_{t_{k-1}}^{t_k} \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} dt}\).
Wybierzmy punkt \(\displaystyle{ \tau_k \; \in \; \langle t_{k-1},t_k \rangle}\), punktowi \(\displaystyle{ \tau_k}\) odpowiada punkt \(\displaystyle{ C_k(x(\tau_k),y(\tau_k))=(\xi_k, \eta_k) \; \in \; \overset{\smile}{A_{k-1}A_k}}\).
Utwórzmy sumę całkową:
\(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n f((\xi_k, \eta_k))\cdot \Delta l_k.}\)
Definicja
Jeśli dla każdego normalnego ciągu normalnego podziałów \(\displaystyle{ \{\Delta_n\}_{n \in \mathbb{N}}}\) przedziału \(\displaystyle{ \langle \alpha,\beta \rangle}\) i przy dowolnym wyborze punktów \(\displaystyle{ \tau_k \; \in \; \langle t_{k-1},t_k \rangle}\) ciąg \(\displaystyle{ \{S_n\}_{n \in \mathbb{N}}}\) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej (\(\displaystyle{ \in \mathbb{R}}\)), to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji \(\displaystyle{ f}\) po łuku \(\displaystyle{ L}\), oznaczamy symbolem :
\(\displaystyle{ \int_{L} f(x,y)dl}\) i piszemy:
\(\displaystyle{ \int_{L} f(x,y)dl=\lim_{n \to } \sum_{k=1}^n f((\xi_k, \eta_k)) \cdot \Delta l_k.}\)
Interpretacja geometryczne
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f \equiv 1}\), to \(\displaystyle{ \int_{L} dl = l}\) (długość łuku).
Interpretacja fizyczna
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=\rho(x,y)}\) jest gęstością masy łuku \(\displaystyle{ L}\), to masa łuku \(\displaystyle{ m=\int_L \rho(x,y) dl}\) i zachodzą analogiczne wzory jak dla całki podwójnej na momenty siły i momenty bezwładności. Ponadto współrzędne środka ciężkości łuku \(\displaystyle{ S(\xi,\eta)}\) wyrażają się wzorami:
\(\displaystyle{ \xi=\frac{M_y}{m} \; \; \eta =\frac{M_x}{m}}\).
Twierdzenie (O zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę pojedynczą)
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na zwykłym, gładkim łuku \(\displaystyle{ L}\) polożonym w płaszczyżnie \(\displaystyle{ OXY}\) o przedstawieniu parametrycznym :
\(\displaystyle{ x=x(t), \; y=y(t) \; t \langle , \beta \rangle}\)
to:
\(\displaystyle{ \int_L f(x,y) dl=\int_{\alpha}^\beta f[x(t),y(t)] \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt}\).
Przykład 1
Obliczyć współrzędne środka ciężkości masy jednorodnej o gęstości \(\displaystyle{ \rho}\) łuku okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) położonego w I ćw. pł. \(\displaystyle{ OXY}\)
\(\displaystyle{ m=\int_L \rho dl \;\;\;\; M_x=\int_L \rho y dl\;\;\;\; M_y=\int_L \rho x dl}\)
\(\displaystyle{ L:\;\left\{\begin{array}{l}x=R\cos t\\ y=R\sin t\end{array}\right.\;\; t \in \left\langle 0,\frac{\pi}{2} \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x'(t)=-R \sin{t} \;\; ,\; y'(t)=R \cos{t}}\)
\(\displaystyle{ m=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho \sqrt{R^2 \sin^2 t+R^2 \cos^2 t} dt=\rho R t_0^{\frac{\pi}{2}}dt=\frac{\pi R \rho }{2}}\)
\(\displaystyle{ M_x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho R \sin t R dt}\)
\(\displaystyle{ =\rho R^2 t_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt}\)
\(\displaystyle{ =\rho R^2 [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}}=\rho R^2}\)
\(\displaystyle{ M_y=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\rho R \cos t R dt=\rho R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt=\rho R^2}\)
\(\displaystyle{ \xi=\frac{M_y}{m}=\frac{2\rho R^2}{\rho R \pi}=\frac{2R}{\pi}=\eta \;\;\Rightarrow S\left( \frac{2R}{\pi},\frac{2R}{\pi}\right)}\)
Temat: Całka krzywoliniowa skierowana
Uwagi dot. skierowania łuku
Niech \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\) bedzie łukiem zwykłym , gładkim, w pł. \(\displaystyle{ OXY}\), o przedstawieniu parametrycznym :\(\displaystyle{ x=x(t),\;\;y=y(t),\;\;t \in \langle \alpha , \beta \rangle}\)
Przyjmując punkt \(\displaystyle{ A}\) za początek i punkt \(\displaystyle{ B}\) za koniec łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\), określamy jego skierowanie i przedstawienie parametryczne spełniające równość: \(\displaystyle{ A(x(\alpha),y(\alpha)) \; B(x(\beta),y(\beta))}\), jest zgodne ze skierowaniem tego łuku.
Przyjmując punkt \(\displaystyle{ B}\) za początek i punkt \(\displaystyle{ A}\) za koniec łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\) określamy skierowanie przeciwne do poprzedniego i przedstawienie parametryczne z podanym wyżej warunkiem nie jest zgodne z tym skierowaniem łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\). To skierowanie bedziemy oznaczać przez \(\displaystyle{ \overset{\smile}{BA}}\), przedstawienie parametryczne :\(\displaystyle{ x=x(-t)\;\;y=y(-t)\;\;t \in\langle -\alpha,-\beta \rangle}\) jest zgodne ze skierowaniem łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{BA}}\).
Całka krzywoliniowa
Niech uporządkowana para funkcji \(\displaystyle{ P\;i\;Q}\) bedzie określona i ograniczona na łuku skierowanym \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \Delta_n}\) podział przedziału \(\displaystyle{ \langle \alpha,\beta \rangle}\) na \(\displaystyle{ n}\) części punktami \(\displaystyle{ t_k\;\;k \in \{1,2,...n\}}\), tak że \(\displaystyle{ \alpha=t_0<t_1<...<t_n=\beta}\). Liczbom \(\displaystyle{ t_k}\) odpowiada podział łuku \(\displaystyle{ AB}\) punktami \(\displaystyle{ A_k(x(t_k),y(t_k))=(x_k,y_k)}\).
Wybierzmy liczby \(\displaystyle{ \tau_k \in \langle t_{k-1},t_k \rangle}\) którym odpowiadają punkty \(\displaystyle{ C_k(x(\tau_k),y(\tau_k))=(\xi_k,\eta_k) \in \overset{\smile}{AB}}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \Delta x_k=x_k-x_{k-1},\;\Delta y_k=y_k-y_{k-1}}\).
Utwórzmy sumę całkową:
\(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n[P(\xi_k,\eta_k) \Delta x_k+Q(\xi_k,\eta_k) \Delta y_k]}\)
Definicja
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów \(\displaystyle{ \{\Delta_n\}_{n \mathbb{N}}}\) przedzialu \(\displaystyle{ \langle\alpha ,\beta \rangle}\) punktami \(\displaystyle{ t_k}\) i przy dowolnym wyborze punktów \(\displaystyle{ \tau_k}\) , ciąg \(\displaystyle{ \{S_n\}_{n \in \NN}}\) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną uporządkowanej pary funkcji \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) po skierowantm łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\) i oznaczamy symbolem :
\(\displaystyle{ \int\limits_{\overset{\smile}{AB}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\),
lub:
\(\displaystyle{ \oint_{C} P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\),
jeśli \(\displaystyle{ A=B}\) i \(\displaystyle{ C=\overset{\smile}{AB}}\) jest skierwanym względem obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ C}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (powstaje obszar ograniczony po lewej stronie).
Twierdzenie (O zamiane całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedynczą)
Jeżeli funkcje \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są ciągłe na zwykłym, gładkim , skierowanym łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\) o przestawieniu \(\displaystyle{ x=x(t)\;\; y=y(t)\;\; t \in \langle \alpha,\beta \rangle}\) zgodnie ze skierowaniem łuku \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\), to:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\overset{\smile}{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\)\(\displaystyle{ =\int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t)]\cdot x'(t)+Q[x(t),y(t)] y'(t)\}dt}\)
Własności
1.
\(\displaystyle{ \int\limits_{\overset{\smile}{BA}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-\int\limits_{\overset{\smile}{AB}} P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\)
2.
Jeżeli \(\displaystyle{ K}\) jest sumą skonczonej liczby łuków, skierowanych , gładkich , o tej własności, że koniec poprzedniego jest początkiem łuku następnego , to całka krzywoliniowa skierowana po krzywej \(\displaystyle{ K}\) jest sumą całek krzywoliniowych skierowanych po poszczególnych łukach.
3.
Analogicznie określamy całkę krzywoliniową skierowaną uporządkowanych funkcji \(\displaystyle{ P,Q,R}\) po łuku gładkim, zwykłym , skierowanym \(\displaystyle{ \overset{\smile}{AB}}\) w pł. \(\displaystyle{ OXYZ}\) o przedstawieniu parametrycznym :
\(\displaystyle{ x=x(t)\;\;y=y(t)\;\;z=z(t)\;\;t \langle ,\beta \rangle}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{\overset{\smile}{AB}}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=}\)
\(\displaystyle{ \int_{\alpha}^{\beta} \{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)}\)\(\displaystyle{ +Q[x(t),y(t),z(t)] y'(t)}\)\(\displaystyle{ +R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\} dt}\)