Interpretacja geometryczna wybranych podstawień
stosowanych przy obliczaniu całek
stosowanych przy obliczaniu całek
Przykład 1
Rozważmy następującą całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int \sin x \cos x \, \dd x \; .}\)
Jednym ze sposobów na jej rozwiązanie jest podstawienie \(\displaystyle{ y = \cos x}\). Ogólnie, zastosowanie podstawienia sprawia, iż różniczka \(\displaystyle{ \dd x}\) nie jest równa różniczce nowej zmiennej, tj. \(\displaystyle{ \dd x \neq \dd y}\). Jak można ten fakt zinterpretować geometrycznie? Otóż rozważmy wykres funkcji danej równaniem \(\displaystyle{ y = \cos x}\):Następnie zaznaczmy na osi \(\displaystyle{ OX}\) pewien przyrost \(\displaystyle{ \dd x}\) (w rzeczywistości \(\displaystyle{ \dd x}\) jest nieskończenie małe, jednak na potrzeby rysunku przyrost ten został powiększony) jako przedział liczbowy \(\displaystyle{ (x, x+\dd x)}\). Przyrost nowej zmiennej \(\displaystyle{ y}\) możemy przedstawić jako obraz odcinka \(\displaystyle{ (x, x+\dd x)}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ x \to y = \cos x}\).
Przykład 2
Uniwersalne podstawienie trygonometryczne, tj. podstawienie:
\(\displaystyle{ t = \tan \frac{x}{2}}\)
pozwala często uprościć obliczenia całek z funkcji zawierających wyrażenia trygonometryczne takie jak \(\displaystyle{ \sin x, \cos x}\) czy też \(\displaystyle{ \tan x}\). Podstawienie to ma swoją interpretację geometryczną.
Rozważmy płaszczyznę i poziomą oś liczbową, w której początku umieszczamy okrąg jednostkowy. Zaznaczamy początek osi liczbowej \(\displaystyle{ O}\), punkt \(\displaystyle{ P = (0, 1)}\) na okręgu oraz punkt \(\displaystyle{ t = (t, 0)}\) na osi liczbowej. Połączenie odcinkiem punktów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ t}\) pozwala nam na zaznaczenie kąta środkowego \(\displaystyle{ x}\) jak na poniższym rysunku:
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ x}\) ma miarę dwa razy mniejszą. Ostatecznie zauważmy, że z geometrycznej interpretacji tangensa jest:
\(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2} = t}\)
Przykład 3
Rozważmy krzywą drugiego stopnia:
\(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ax^2 + b x + c} \; . \quad (1)}\)
Wybierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) należący do tej krzywej, tj. punkt, którego współrzędne spełniają następujące równanie:\(\displaystyle{ y_0^2 = ax_0^2 + bx_0 + c \; ,}\)
a następnie poprowadźmy sieczną przechodzącą przez ten punkt. Równanie siecznej to:\(\displaystyle{ y-y_0 = t(x-x_0) \; . \quad (2)}\)
Sieczna ta przetnie krzywą w jeszcze jednym punkcie, oznaczmy go \(\displaystyle{ (x, y)}\). Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek:Odpowiednio zmieniając wartość parametru \(\displaystyle{ t}\) możemy zatem przejść całą krzywą.
Podstawiając do równania (2) dodatnie rozwiązanie (1), mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{ax^2 + bx + c} - y_0 = t(x - x_0)}\)
W zależności od tego jakie własności trójmianu pod pierwiastkiem oraz wyboru punktu \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) otrzymujemy jedno z trzech podstawień Eulera.Bibliografia:
1. "Weierstrass substitution",
2. "Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2", G. M. Fichtenholz