Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania

Post autor: luka52 »

Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania
W najogólniejszym przypadku zwana też regułą Leibniza [1].
Za punkt wyjścia niech posłuży nam podstawowy wzór rachunku całkowego, zwany też wzorem Newtona-Leibniza.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie ciągła w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz niech \(\displaystyle{ F}\) będzie dowolną funkcją pierwotną \(\displaystyle{ f}\) na zadanym przedziale, wtedy: [2]
\(\displaystyle{ \int_a^b f(x) \, \mbox d x = F(b) - F(a)}\)
Mając daną ciągłą (na [a,b]) funkcję rzeczywistą \(\displaystyle{ f}\), zdefiniujmy następującą funkcję
\(\displaystyle{ I \colon [a,b] \ni x \mapsto \int_a^x f(t) \, \mbox d t \in \mathbb{R}}\)
W celu obliczenia pochodnej \(\displaystyle{ I' \equiv \tfrac{d I}{dx}}\), korzystamy z podstawowego wzoru rachunku całkowego w następujący sposób:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\frac{\mbox d I}{\mbox d x} &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( \int_a^x f(t) \, \mbox d t \right) \\
&= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( F(x) - F(b) \right) \\
&= f(x)
\end{align*}$}\)
W bardziej ogólnym przypadku, funkcja \(\displaystyle{ I}\) może zależeć od górnej i dolnej granicy całkowania poprzez funkcje \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\). Zakładając, że są one (g i h) różniczkowalne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\frac{\mbox d I}{\mbox d x} &= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, \mbox d t \right) \\
&= \frac{\mbox d }{\mbox d x} \left( F \bigl( h(x) \bigr) - F \bigl( g(x) \bigr) \right) \\
&= f \bigl( h(x) \bigr) \cdot h'(x) - f \bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)
\end{align*}$}\)
W najogólniejszym przypadku funkcja \(\displaystyle{ f \equiv f(t, x)}\) zależy od zmiennej \(\displaystyle{ t}\) i parametru \(\displaystyle{ x}\). Zakładamy, że jest ona określona na prostokącie \(\displaystyle{ [c, d] \times [a, b]}\), ciągła względem \(\displaystyle{ t}\) w przedziale \(\displaystyle{ [c,d]}\) przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ [a, b]}\). Dodatkowo istnieje pochodna cząstkowa \(\displaystyle{ \tfrac{ \partial f}{ \partial x}}\), ciągła jako funkcja dwóch zmiennych.
Wówczas prawdziwy jest wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox d}{\mbox d x} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t = \int_{g(x)}^{h(x)} \frac{\partial f}{\partial x} \, \mbox d t + f \left( h(x), x \right) \frac{\mbox d h}{\mbox d x} - f \left( g(x), x \right) \frac{\mbox d g}{\mbox d x}}\)
Dowód:
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ I(x)}\) całkę po lewej w powyższej równości, z której obliczana jest pochodna. Zapiszmy iloraz różnicowy:
\(\displaystyle{ $ \begin{align*} \frac{I ( x + z) - I(x)}{z} & = \frac{1}{z} \left[ \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x+z) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t \right] \\
& = \frac{1}{z} \left[ \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x+z) \, \mbox d t - \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t \right. \\
& \phantom{= \frac{1}{z}} + \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t \\
& \phantom{= \frac{1}{z}} + \left. \int_{g(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t - \int_{g(x)}^{h(x)} f(t, x) \, \mbox d t \right] \\
& = \int_{g(x+z)}^{h(x+z)} \frac{f(t, x+z) - f(t, x)}{z} \, \mbox d t + \frac{1}{z} \int_{g(x+z)}^{g(x)} f(t, x) \, \mbox d t+ \frac{1}{z} \int_{h(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t
\end{align*}$}\)
Korzystając z twierdzenia o wartości średniej możemy zapisać:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} \frac{1}{z} \int_{h(x)}^{h(x+z)} f(t, x) \, \mbox d t &= \frac{h(x+z) - h(x)}{z} f ( c, x )\\
\frac{1}{z} \int_{g(x+z)}^{g(x)} f(t, x) \, \mbox d t & = - \frac{g(x+z) - g(x)}{z} f(d, x) \end{align*}$}\)
gdzie \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) są wartościami pomiędzy (odpowiednio) \(\displaystyle{ h(x)}\) a \(\displaystyle{ h(x+z)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) a \(\displaystyle{ g(x+z)}\).

Przejście graniczne \(\displaystyle{ z \to 0}\) kończy dowód.


Przykłady
1. Oblicz pochodną funkcji
\(\displaystyle{ f(x) = \int_1^{3x^2 + 1} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \, \mbox d t}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{\sin (3x^2 + 1)}{\sqrt{3x^2 + 1}} \cdot (3x^2 + 1)' = \frac{6x \cdot \sin (3x^2 + 1)}{\sqrt{3x^2 + 1}}}\)
2. Korzystając z reguły de l'Hôpitala, oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{ \int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x }{1 - e^{-t}}}\)
Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym \(\displaystyle{ \left[ \tfrac{0}{0} \right]}\). Obliczamy pochodne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\frac{\mbox d}{\mbox d t} \left(\int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x \right) & = e^{-2 \cdot (2t)^2} \cdot 2 = 2 e^{-8t^2} \\
\frac{\mbox d}{\mbox d t} \left( 1 - e^{-t} \right) & = e^{-t}
\end{align*}$}\)
Obie pochodne są skończone w zerze, zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{ \int_0^{2t} e^{-2x^2} \, \mbox d x }{1 - e^{-t}} \stackrel{\mbox H}{=} \lim_{t \to 0} \frac{ 2 e^{-8t^2} }{e^{-t}} = \frac{2}{1} =2}\)

Wszelkie komentarze odnośnie tego postu proszę kierować na


Źródła:
1. Eric W. Weisstein. "Leibniz Integral Rule."
2. G.M. Fichtenholz. "Rachunek różniczkowy i całkowy", tom 2.
ODPOWIEDZ