Niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie okreslona i ograniczona w prostokacie:
\(\displaystyle{ P=\{(x,y): \; x \in \langle a,b \rangle \wedge y \in \langle c,d \rangle \; \subset \mathbb{R}^2\}}\)
Niech \(\displaystyle{ \Delta_n}\) bedzie podzialem \(\displaystyle{ P}\) na prostokaty \(\displaystyle{ P_k}\) o bokach rownoleglych do osi ukladu wspolrzednych o polach \(\displaystyle{ \Delta \sigma_k}\) o przekatnych \(\displaystyle{ d_k}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \delta_n=\max_{1\leq k \leq n} d_k}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \{1,2,...,n\}}\)
Wybieramy punkty \(\displaystyle{ A_k(\xi_k,\eta_k) \in P_k}\) i utwórzmy sume :
\(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n f(\xi_k,\eta_k) \cdot \Delta \sigma_k}\)
Def.
Ciagiem normalnym podzialu prostokata \(\displaystyle{ P}\) nazywamy ciag \(\displaystyle{ \{\Delta_n\}_{n \in \mathbb{N}}}\) jesli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \delta_n=0}\).
Def.
Jesli dla kazdego normalnego ciagu podzialow \(\displaystyle{ \{\Delta_n\}_{n \in \mathbb{N}}}\) prostokata \(\displaystyle{ P}\) na prostokaty \(\displaystyle{ P_k}\) i przy dowolnym wyborze punktow \(\displaystyle{ A_k \in P_k}\) istnieje dokladnie jedna wlasciwa
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} S_n}\) , to granice te nazywamy całką podwójną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w prostokacie \(\displaystyle{ P}\) i oznaczamy symbolem \(\displaystyle{ \iint_Pf(x,y)d\sigma}\) lub \(\displaystyle{ \iint_P f(x,y)dxdy}\) i piszemy:
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y)d\sigma=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(\xi_k,\eta_k) \cdot \Delta \sigma_n}\)
Wlasnosci
1. Jezeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla w \(\displaystyle{ P}\) poza zbiorem punktow ktory mozna pokryc skonczona liczba prostokatow o dowolnie malym polu , to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest calkowalna w \(\displaystyle{ P}\), w szczegolnosci \(\displaystyle{ f}\), ciagla w \(\displaystyle{ P}\) jest calkowalna.
2. Jezeli \(\displaystyle{ P}\) jest suma prostokatow \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) o rozlacznych wnetrzach i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest calkowalna w \(\displaystyle{ P}\) to:
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y)d \sigma =\iint _{P_1} f(x,y)d \sigma +\iint _{P_2} f(x,y)d \sigma}\)
3. (liniowosc)
Jezeli \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) sa calkowalne w \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ k \in \mathbb{R}}\) , to :
\(\displaystyle{ \iint _P [f(x,y)+g(x,y)]d \sigma =\iint _P f(x,y)d \sigma +\iint _P g(x,y)d \sigma}\)
oraz \(\displaystyle{ \iint _P k \cdot f(x,y)d \sigma =k \cdot\iint _P f(x,y)d \sigma}\)
4. Jezeli
\(\displaystyle{ m=\inf_P f \; \wedge\; M=\sup_P f \; \wedge \; \sigma=|P|}\) to:
\(\displaystyle{ m \cdot \sigma \leq \iint _P f(x,y)d \sigma \leq M \cdot \sigma}\)
5. Jesli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla w \(\displaystyle{ P}\) to istnieje \(\displaystyle{ C\in P}\) , taki ze:
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y)d \sigma=f(C) \cdot \sigma}\)
Def.
Wartoscia srednia calki podwojnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ P}\) nazywamy liczbe \(\displaystyle{ \mu=\frac{1}{f(C)} \iint _P f(x,y)d \sigma}\).
Tw.
Jezeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla w \(\displaystyle{ P}\) poza co najwyzej zbiorem miary \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) , to
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y)d \sigma=\int_a^b dx \int_c^d f(x,y)dy}\)
lub
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y)d \sigma=\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx}\)
Przyklad
Oblicz calke podwojna
\(\displaystyle{ I=\iint _P (16-x^2-y^2)d \sigma}\)
\(\displaystyle{ P=\{(x,y): \; x \in \langle -1,2 \rangle \wedge y \in \langle 1,2 \rangle \; \subset \mathbb{R}^2\}}\)
\(\displaystyle{ I=\int_{-1}^2 dx \int_1^2(16-x^2-y^2)dy=\int_{-1}^2 (16y-x^2y-\frac{1}{3}y^3)|_1^2 dx}\)\(\displaystyle{ =\int_{-1}^2 (16-x^2-\frac{1}{3} \cdot 8 +\frac{1}{3})dx=}\)
\(\displaystyle{ \frac{41}{3}x-\frac{1}{3}x^3|_{-1}^2=38}\)
Def.
Obszar \(\displaystyle{ D}\) nazywamy obszarem normalnym wzgle osi OXjesli \(\displaystyle{ D=\{(x,y): x \in \langle a,b \rangle \; \wedge \; y \in \langle \phi(x),\psi(x) \rangle\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) i \(\displaystyle{ \psi}\) sa ciagle w \(\displaystyle{ \langle a,b \rangle}\)
Podobnie okreslamy obszar normalny wzgledem osi OY
Obszarem regularnym nazywamy obszar bedacy suma obszarow normalnych wzgl osi OX lub OY
Niech \(\displaystyle{ P=\{(x,y): x \in \langle a,b \rangle \; \wedge \; y \in \langle \inf_{\langle a,b \rangle} \phi(x), \sup_{\langle a,b \rangle } \psi(x) \rangle\}}\)
i niech
\(\displaystyle{ f^*(x,y)=\begin{cases}f(x,y) &\text{dla } (x,y) \in P\\ 0 &\text{dla } (x,y) \in P-D\end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie ciagla w \(\displaystyle{ D}\)
Def.
\(\displaystyle{ \iint _P f(x,y) d \sigma = \iint _P f^*(x,y) d \sigma}\)
Tw.
Jezeli \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla w \(\displaystyle{ D}\) , to \(\displaystyle{ \iint _P f(x,y) d \sigma=\int_a^b dx \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y)dy}\)
Interpretacja
Jezeli funkcja f jest nieujemna i ciagla w D to calka podwojna funkcji f w D jest objetoscia bryly ograniczona plaszczyznami o rownaniach \(\displaystyle{ x=a,x=b,z=0}\), powierzchniami \(\displaystyle{ y=\phi(x), y=\psi(x), z=f(x,y)}\)
Jezeli \(\displaystyle{ f\equiv 1}\), to \(\displaystyle{ \iint _D d \sigma = |D|}\)
niech \(\displaystyle{ f(x,y)=\rho(x,y)}\) gestosc masy obszaru \(\displaystyle{ D}\)
to masa \(\displaystyle{ m}\) obszaru \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ m=\iint _D \rho(x,y) d \sigma}\)
momenty sily:
\(\displaystyle{ M_x=\iint _D y\rho(x,y) d \sigma}\)
\(\displaystyle{ M_y=\iint _D x\rho(x,y) d \sigma}\)
momenty bezwladnosci:
\(\displaystyle{ B_x=\iint _Dy^2 \rho(x,y) d \sigma}\) OX
\(\displaystyle{ B_y=\iint _D x^2 \rho(x,y) d \sigma}\) OY
\(\displaystyle{ B_z=\iint _D (x^2+y^2) \rho(x,y) d \sigma}\) (0,0)
Przyklad
Obliczyc \(\displaystyle{ B_x}\) dla \(\displaystyle{ \rho=const}\)
\(\displaystyle{ D=\bigtriangleup_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ A(0,0)\;\;B(a,0)\;\;C(a,a) \; \wedge \; a>0}\)
\(\displaystyle{ B_x=\iint_Dy^2 \rho\cdot d \sigma=}\)\(\displaystyle{ \rho t_0^a dx t_0^x y^2 dy=\rho t_0^a \frac{1}{3} y^3 |_0^x dx=}\)\(\displaystyle{ \\ \rho t_0^a \frac{1}{3}x^3dx=\frac{\rho}{3} \frac{1}{4}x^4|_0^a}\)\(\displaystyle{ = \frac{1}{12}a^4 \rho = \frac{1}{6}m a^2}\)
Niech \(\displaystyle{ T: \; \Delta \to D}\) bedzie odwzorowaniem \(\displaystyle{ \Delta,D \subset \mathbb{R}^2}\) danym rownaniami:
\(\displaystyle{ x=x(u,v) \; \; y=y(u,v) \; \; (u,y) D}\)
Def.
Jakobianem odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) nazywamy wyznacznik:
\(\displaystyle{ J(u,v)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y }{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|_{(u,v)}}\)
gdzie funkcje \(\displaystyle{ x,y}\) sa klasy \(\displaystyle{ C^1(\Delta)}\)
Tw. ( o zamianie zmiennych)
Jezeli:
1. \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla w \(\displaystyle{ D}\)
2. Odwzorowanie \(\displaystyle{ T:\;\Delta \to D}\) bedzie klasy \(\displaystyle{ C^1(D)}\) dane rownianiami danymi powyzej
3. \(\displaystyle{ J(u,v) 0}\) dla \(\displaystyle{ (u,v) \Delta}\)
to:
\(\displaystyle{ \iint_D f(x,y) dxdy= \iint_{\Delta} f[x(u,v),y(u,v)] |J(u,v)| dudv}\)