Kryterium porównawcze zbieżności szeregów
- Jeżeli \(\displaystyle{ \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}|a_{n}|\leqslant b_{n}}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest zbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny.
- Jeżeli \(\displaystyle{ \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n>N}0\leqslant b_{n}\leqslant a_{n}}\) oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest rozbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest rozbieżny.
- Ponieważ szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest zbieżny, więc na podstawie twierdzenia Cauchy'ego możemy napisać
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{0}>N}\bigwedge_{n,m\in\mathbb{N},\,n\geqslant m}\left(n,m>N_{0}\Rightarrow b_{m}+b_{m+1}+...b_{n}<\varepsilon\right)}\)A więc dla \(\displaystyle{ n,m>N_{0}}\) i \(\displaystyle{ n\geqslant m}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^{n}a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}\left|a_{k}\right|\leqslant\sum_{k=m}^{n}b_{k}}\)Co po ponownym skorzystaniu z twierdzenia Cauchy'ego oznacza, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny. - Przypuśćmy, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny. Wtedy na mocy 1) zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\), co powoduje sprzeczność, a ta kończy dowód.