Ciąg (a_n) ma granicę 0, to (1/a_n) ma granicę niewłaśc

[bolo]

Twierdzenie:

1. Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}>0}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}}=+\infty}\).
2. Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}<0}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}}=+\infty}\).

1. Dowód:
   1. Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}>0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\), to:
      \(\displaystyle{ \bigwedge_{M>0}\bigvee_{N>0}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\left(n>N\Rightarrow a_{n}<\frac{1}{M}\right)}\).
      Oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}>M}\), dla \(\displaystyle{ n>N}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}}=+\infty}\).
   2. Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}<0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\), to:
      \(\displaystyle{ \bigwedge_{M>0}\bigvee_{N>0}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\left(n>N\Rightarrow -a_{n}<\frac{1}{M}\right)}\).
      Oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}<-M}\), dla \(\displaystyle{ n>N}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}}=-\infty}\).

\(\displaystyle{ \blacksquare}\)

Dowód uszkodzony podczas zmiany silnika forum został naprawiony przez użytkownika Ponewor.