\(\displaystyle{ \bigvee_{N_{0}>0}\bigwedge_{n>N_{0}}a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}}\),
oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=g\in\mathbb{R}}\), to ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_{n}=g}\).Dowód: Z założeń wynika, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{1}>0}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\left(n>N_{1}\Rightarrow |a_{n}-g| < \varepsilon \Leftrightarrow - \varepsilon < a_{n}-g < \varepsilon \Leftrightarrow g- \varepsilon < a_{n} < g+ \varepsilon \right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N_{2}>0}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\left(n>N_{2}\Rightarrow |c_{n}-g| < \varepsilon \Leftrightarrow - \varepsilon < c_{n}-g < \varepsilon \Leftrightarrow g- \varepsilon < c_{n} < g+ \varepsilon \right)}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n>N=\max\{N_{0},N_{1},N_{2}\}}\) zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ g- \varepsilon < a_{n} \le b_{n} \le c_{n} < g+ \varepsilon \Rightarrow - \varepsilon < b_{n}-g < \varepsilon \Leftrightarrow \left| b_{n}-g\right| < \varepsilon}\).
Czyli pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{N>0}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}} n > N \Rightarrow \left|b_{n}-g \right| < \varepsilon}\), a to znaczy że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_{n}=g}\).
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)
Przykład: Znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+5^{n}}}\). Wstawienie bezpośrednie prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego \(\displaystyle{ \infty^{0}}\).
Weźmy oszacowanie dolne: \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt[n]{0+0+5^{n}}=\sqrt[n]{5^{n}}}\) oraz górne \(\displaystyle{ b_{n}=\sqrt[n]{5^{n}+5^{n}+5^{n}}=\sqrt[n]{3\cdot 5^{n}}}\). Obliczmy granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^{n}}=5}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3\cdot 5^{n}}=5\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=5}\). A więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}+5^{n}}=5}\).
Dowód twierdzenia uszkodzony podczas zmiany silnika został naprawiony przez użytkownika Ponewor, z pomocą użytkownika smigol.