Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest zbieżny, więc \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=g\in\mathbb{R}}\), tzn. \(\displaystyle{ |a_{n}-g|<1}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\) (przyjęliśmy, że \(\displaystyle{ \varepsilon=1}\)).
Zachodzi ponadto nierówność \(\displaystyle{ |a_{n}|-|g|\leqslant|a_{n}-g|}\), a więc dla \(\displaystyle{ n>N}\) mamy: \(\displaystyle{ |a_{n}|\leqslant|a_{n}-g|+|g|<|g|+1.}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ M=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{N}|,|g|+1\}.}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ M}\) jest równe największej z wymienionych liczb w powyższej równości. Z tego faktu otrzymujemy również, że \(\displaystyle{ |a_{n}|\leqslant M}\), a to oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ograniczony.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. \(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n+1}}\) jest ograniczony, ale nie jest zbieżny.
\(\displaystyle{ \blacksquare}\)