Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego
Zakładamy, że wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) są nieujemne.- Jeżeli \(\displaystyle{ \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n\geqslant N}\sqrt[n]{a_{n}}\leqslant q}\), gdy \(\displaystyle{ 0\leqslant q < 1}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny.
- Jeżeli \(\displaystyle{ \bigvee_{N>0}\bigwedge_{n\geqslant N}\sqrt[n]{a_{n}}\geqslant q}\), gdy \(\displaystyle{ q>1}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) jest rozbieżny.
- Dla \(\displaystyle{ n\geqslant N}\) mamy \(\displaystyle{ a_{n}\leqslant q^{n}}\). Szereg geometryczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}}\) jest zbieżny, ponieważ \(\displaystyle{ 0 \leqslant q \leqslant 1}\), więc na mocy kryterium porównawczego zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\).