Pochodna funkcji - motywacja fizyczna

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
szw1710

Pochodna funkcji - motywacja fizyczna

Post autor: szw1710 »

Pochodna funkcji - motywacja fizyczna
Poniższy tekst ma na celu umotywowanie wprowadzenia pojęcia pochodnej przez jej interpretację fizyczną związaną z prędkością w dowolnym ruchu. Rozważam tutaj tylko ruchy prostoliniowe, czyli jednowymiarowe. Pisząc "droga" czy "prędkość", mam na myśli wartości skalarne. Tak naprawdę droga (tor) i prędkość są bowiem wielkościami wektorowymi.

Prędkość \(\displaystyle{ v}\) w ruchu jednostajnym jest ilorazem przebytej drogi \(\displaystyle{ s}\) do czasu, w którym ta droga została przebyta:
\(\displaystyle{ v=\frac{s}{t}\,.}\)
W dowolnym ruchu, niekoniecznie jednostajnym, przez \(\displaystyle{ s(t)}\) oznaczmy drogę przebytą przez punkt materialny w czasie \(\displaystyle{ t>0}\), a przez \(\displaystyle{ v(t)}\) prędkość punktu w chwili \(\displaystyle{ t}\).

Dowolny ruch można w krótkim przedziale czasowym przybliżać ruchem jednostajnym. Sensownym uproszczeniem jest założenie, że w krótkich odcinkach czasowych prędkość jest stała. Przy założeniu jednostajności ruchu w przedziale czasowym \(\displaystyle{ [t,t+\Delta t]}\), prędkość jest ilorazem
\(\displaystyle{ \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\)
zwanym ilorazem różnicowym. Jest to stosunek drogi przebytej w czasie od \(\displaystyle{ t}\) do \(\displaystyle{ t+\Delta t}\) do czasu, w którym ta droga została przebyta, czyli \(\displaystyle{ \Delta t}\). Prędkość chwilową \(\displaystyle{ v(t)}\) w chwili \(\displaystyle{ t}\) otrzymujemy przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ \Delta t\to 0}\) (skracając coraz to bardziej przedział czasowy, w którym zakładamy jednostajność ruchu):
\(\displaystyle{ v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,.}\)
Oznaczając
\(\displaystyle{ \Delta s(t)=s(t+\Delta t)-s(t)\,,}\)
mamy
\(\displaystyle{ v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}\,.}\)
W tradycyjnej notacji
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\quad\text{lub}\quad v(t)=s'(t)\,.}\)
Mówimy, że w dowolnym ruchu prędkość jest pochodną drogi względem czasu.

Przykład

Równanie drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym ma postać
\(\displaystyle{ s(t)=v_0t+\frac{at^2}{2}\,,}\)
gdzie \(\displaystyle{ v_0}\) jest prędkością początkową, natomiast \(\displaystyle{ a}\) jest (stałym) przyspieszeniem. Z kolei równanie prędkości w tym ruchu to
\(\displaystyle{ v(t)=v_0+at\,.}\)
Znając równanie drogi wyprowadzimy wzór na prędkość.
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
v(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0(t+\Delta t)+\frac{a(t+\Delta t)^2}{2}-v_0t-\frac{at^2}{2}}{\Delta t}=\\[2ex]
&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0t+v_0\cdot\Delta t
+\frac{a\bigl(t^2+2t\cdot\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{2}-v_0t-\frac{at^2}{2}}{\Delta t}=\\[2ex]
&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0\cdot\Delta t+\frac{a}{2}\bigl(2t\cdot\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{\Delta t}
=\lim_{\Delta t\to 0}\left(v_0+at+\frac{a\cdot\Delta t}{2}\right)=v_0+at\,.
\end{aligned}}\)
U podstaw wielu pojęć matematycznych stoi fizyka. W fizyce prędkość jest szybkością zmiany drogi. Również w matematyce wartość pochodnej funkcji mierzy, jak szybko zmieniają się wartości tej funkcji.
Zablokowany