Wzór interpolacyjny Newtona

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
szw1710

Wzór interpolacyjny Newtona

Post autor: szw1710 »

I jeszcze jeden krótki tekst o zastosowaniu ilorazów różnicowych wyższych rzędów.

Niech \(\displaystyle{ f:(a,b)\to\mathbb{R}.}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_n\in(a,b)}\) (wzajemnie różnych) istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ w}\) stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) taki, że \(\displaystyle{ w(x_i)=f(x_i),\;i=0,1,\dots,n.}\) Można go wyznaczyć za pomocą wzoru Newtona:
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
w(x)&=f(x_0)+[x_0,x_1;f](x-x_0)+[x_0,x_1,x_2;f](x-x_0)(x-x_1)+\\
&\phantom{=}+\dots+[x_0,x_1,\dots,x_n;f](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}).
\end{aligned}}\)
Bardzo interesująca jest postać błędu tej interpolacji:
\(\displaystyle{ f(x)-w(x)=[x_0,x_1,\dots,x_n,x;f](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\,,}\)
co w połączeniu z twierdzeniem o wartości średniej dla ilorazów różnicowych wyższych rzędów (zob. tutaj) daje (przy odpowiednich założeniach regularnościowych - ciągłość pochodnej rzędu \(\displaystyle{ n+1}\)), że
\(\displaystyle{ f(x)-w(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ \xi\in\bigl(\min\{x_0,\dots,x_n,x\},\max\{x_0,\dots,x_n,x\}\bigr).}\)

Oczywiście wielomian interpolacyjny można też wyznaczyć wg wzoru Lagrange'a - jest to przecież ten sam wielomian. Zatem błąd interpolacji Lagrange'a ma identyczną postać.
Zablokowany