Ilorazy różnicowe wyższych rzędów, sposób wyliczania.

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
szw1710

Ilorazy różnicowe wyższych rzędów, sposób wyliczania.

Post autor: szw1710 »

Ciąg dalszy wywodu o ilorazach różnicowych wyższych rzędów. Tym razem krótko omówię ich wyliczanie. Bardzo łatwo zrobić to w oparciu o pewien diagram.
\(\displaystyle{ \begin{matrix}
x_0&f(x_0)&&&\\
& &[x_0,x_1;f]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}&&\\
x_1&f(x_1)&&[x_0,x_1,x_2;f]=\frac{[x_1,x_2;f]-[x_0,x_1;f]}{x_2-x_0}&\\
& &[x_1,x_2;f]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}&&[x_0,x_1,x_2,x_3;f]=\dots\\
x_2&f(x_2)&&[x_1,x_2,x_3;f]=\frac{[x_2,x_3;f]-[x_1,x_2;f]}{x_3-x_1}&\\
& &[x_2,x_3;f]=\frac{f(x_3)-f(x_3)}{x_3-x_2}&&\\
x_3&f(x_3)&&&
\end{matrix}}\)
Regułę tworzenia ilorazów różnicowych wyższych rzędów łatwo stąd odgadnąć, na więcej nie ma miejsca w linii

A teraz inny wzór: wyznacznikowy.
\(\displaystyle{ [x_0,\dots,x_n;f]=
\frac{%
\begin{vmatrix}
1&\dots&1\\
x_0&\dots&x_n\\
\vdots&&\vdots\\
x_0^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\\
f(x_0)&\dots&f(x_n)
\end{vmatrix}
}%
{%
\begin{vmatrix}
1&\dots&1\\
x_0&\dots&x_n\\
\vdots&&\vdots\\
x_0^n&\dots&x_n^n
\end{vmatrix}
}\,.}\)
Jego natychmiastową konsekwencją jest symetria ilorazów różnicowych:
\(\displaystyle{ [x_0,x_1,\dots,x_n;f]=[x_{\sigma(0)},x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)};f]\,,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma}\) jest dowolną permutacją zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,\dots,n\}.}\)

Istotnie, startując od \(\displaystyle{ [x_0,x_1,\dots,x_n;f]}\) w liczniku i mianowniku powyższego wzoru wykonujemy te same inwersje kolumn, otrzymując \(\displaystyle{ [x_{\sigma(0)},x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)};f]\,.}\) Oczywiście wartość ilorazu nie zmieni się na mocy znanych własności wyznaczników.
Zablokowany