Uogólnione ilorazy różnicowe a pochodne wyższych rzędów

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
szw1710

Uogólnione ilorazy różnicowe a pochodne wyższych rzędów

Post autor: szw1710 »

Poniższy tekst napisałem w związku z dyskusją w wątku https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=268709 i wyrażonym tam zainteresowaniem ze strony jednego z uczestników dyskusji. Proszę o sygnalizowanie w prywatnych wiadomościach wszelkich nieprawidłowości. Z góry dziękuję.

Niech \(\displaystyle{ f:(a,b)\to\mathbb{R}}\). Przypomnijmy, że iloraz różnicowy funkcji \(\displaystyle{ f}\) na punktach \(\displaystyle{ x_0,x_1\in(a,b)}\) określamy wzorem
\(\displaystyle{ \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\,,}\)
zakładając oczywiście \(\displaystyle{ x_0\ne x_1}\). Jeśli powyższy iloraz ma granicę właściwą przy \(\displaystyle{ x_1\to x_0}\), to jest ona równa pochodnej \(\displaystyle{ f'(x_0)}\):
\(\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\,.}\)
Określimy teraz ilorazy różnicowe wyższych rzędów. Niech \(\displaystyle{ x_0,x_1\dots,x_n\in(a,b)}\) będą wzajemnie różnymi punktami. Definiujemy rekurencyjnie iloraz różnicowy \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ [x_0;f]=f(x_0),\quad [x_0,\dots,x_{n};f]=\frac{[x_1,\dots,x_n;f]-[x_0,\dots,x_{n-1};f]}{x_n-x_0}\,.}\)
W szczególności dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy
\(\displaystyle{ [x_0,x_1;f]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\,,}\)
więc zwykły iloraz różnicowy jest ilorazem różnicowym pierwszego rzędu.

Określone powyżej ilorazy różnicowe mają zastosowanie w interpolacji wielomianowej, interpolacji funkcjami sklejanymi i w wielu działach matematyki. Opiera się na nich np. tzw. wypukłość wyższych rzędów.

Zachodzi następujące twierdzenie o wartości średniej:

Twierdzenie. Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:(a,b)\to\mathbb{R}}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-krotnie różniczkowalna, to dla każdych \(\displaystyle{ n+1}\) wzajemnie różnych punktów \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_n\in(a,b)}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ \xi\in\bigl(\min\{x_0,\dots,x_n\},\max\{x_0,\dots,x_n\}\bigr)}\) taki, że
\(\displaystyle{ [x_0,\dots,x_n;f]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,.}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) sprowadza się ono do twierdzenia Lagrange'a.

Niech teraz \(\displaystyle{ x_0\in(a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ x_0+nh\in(a,b)}\). Wtedy, przy założeniach powyższego twierdzenia, istnieje punkt \(\displaystyle{ \xi_h}\) pośredni pomiędzy \(\displaystyle{ x_0}\), a \(\displaystyle{ x_0+nh}\) taki, że
\(\displaystyle{ [x_0,x_0+h,\dots,x_0+nh;f]=\frac{f^{(n)}(\xi_h)}{n!}\,.}\)
Załóżmy teraz, że pochodna \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz istnieje granica właściwa
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}[x_0,x_0+h,\dots,x_0+nh;f]\,.}\)
Skoro \(\displaystyle{ h\to 0}\), to \(\displaystyle{ x_0+nh\to x_0}\), więc także \(\displaystyle{ \xi_h\to x_0}\). Z ciągłości pochodnej \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) otrzymujemy zatem \(\displaystyle{ \lim\limits_{h\to 0}f^{(n)}(\xi_h)=f^{(n)}(x_0)}\). Dlatego

\(\displaystyle{ (1)\qquad\lim_{h\to 0}[x_0,x_0+h,\dots,x_0+nh;f]=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(\xi_h)}{n!}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}\)

Można, niezbyt trudno, udowodnić przez indukcję, że

\(\displaystyle{ (2)\qquad [x_0,x_0+h,\dots,x_0+nh;f]=\frac{1}{n!h^n}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}f\bigl(x+h(n-i)\bigr)}\)

W szczególności, dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy
\(\displaystyle{ [x_0,x_0+h,x_0+2h;f]=\frac{f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)}{2h^2}\,,}\)
a dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ [x_0,x_0+h,x_0+2h,x_0+3h;f]=\frac{f(x_0+3h)-3f(x_0+2h)+3f(x_0+h)-f(x_0)}{3!h^3}\,.}\)
Wobec wzorów (1) i (2) mamy teraz

\(\displaystyle{ (3)\qquad\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^n}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}f\bigl(x+h(n-i)\bigr)=f^{(n)}(x_0)\,.}\)

Przypomnijmy, że zakładaliśmy tu ciągłość pochodnej \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz istnienie granicy właściwej po lewej stronie wzoru (1).

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) otrzymujemy więc
\(\displaystyle{ f''(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)}{h^2}\,,}\)
a dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ f'''(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+3h)-3f(x_0+2h)+3f(x_0+h)-f(x_0)}{h^3}\,.}\)
Jak powiedziałem, ilorazy różnicowe wyższych rzędów mają wiele zastosowań i aspektów, a dokładne ich omówienie wymagałoby rocznego wykładu monograficznego. Z konieczności pozwoliłem sobie na skróty i omówienie tylko spraw związanych z różniczkowaniem i wyliczaniem pochodnych wyższych rzędów niejako "z definicji", bez wcześniejszego wyliczania pochodnych niższych rzędów.

Ale uwaga: równości (3) nie można przyjąć za definicję pochodnej \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu, gdyż równanie to spełniają także niektóre funkcje nieróżniczkowalne. Dobrym przykładem jest funkcja addytywna i nieciągła, dla której, przy \(\displaystyle{ n\ge 2}\), musiałoby być \(\displaystyle{ f^{(n)}(x_0)=0,}\) co jest niedorzecznością. Zatem, aby można było obliczać pochodne wyższych rzędów stosując wzór (3), należy założyć istnienie i ciągłość odpowiedniej pochodnej.

Jako ćwiczenie proponuję sprawdzić stosując wzór (3), że \(\displaystyle{ (x^3)''=6x}\).
Zablokowany