Równania charakterystyczne

[Piotr Rutkowski]

Równania charakterystyczne

Zacznijmy od wyjaśnienia co to są równania charakterystyczne. Żeby to wyjaśnić należy przypomnieć co to w ogóle jest rekurencja.

Najprościej rzecz ujmując, ciąg opisany wzorem rekurencyjnym, jest to ciąg, którego n-ty wyraz jest opisany jednym lub więcej poprzednich wyrazów, mając podane pierwsze wyrazy ciągu(tyle podanych iloma wyrazami określamy n-ty wyraz). Taka postać wzoru jest bardzo często "nieprzyjazna" dla matematyka. Nasuwa się więc oczywiste pytanie jak sprowadzić ciąg opisany rekurencyjnie do postaci ogólnej. Przy zależności od tylko jednego poprzedniego wyrazu mamy w miarę prostą sytuację (pozostaje ciąg arytmetyczny, geometryczny, lub kombinacja obu). Zastanówmy się co się stanie, jeśli mamy ciąg opisany rekurencyjnie względem np. 2 poprzednich wyrazów. Po chwili refleksji okazuje się, że nie jest to wcale takie proste. Okazuje się, że jest jeden, w miarę prosty sposób rozwiązywania rekurencji liniowych.

Rekurencja liniowa, to rekurencja postaci:
\(\displaystyle{ a_{n+p}=x_{1}*a_{n+(p-1)}+x_{2}*a_{n+(p-2)}+...+x_{p}*a_{n}}\)

Zastosowanie równań charakterystycznych najłatwiej wyjaśnić na dobrym przykładzie. Odniosę się tu do (prawdopodobnie) dobrze znanego forumowiczom zadania czwartego z tegorocznej 1 serii OM-a. (Pierwszą część zadania pomijam ze względu na jej zbędność)


Zadanie 4 (I seria OM 2006/2007):

Po kilku przekształceniach otrzymywaliśmy oczywiście wzór rekurencyjny ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+8a_{n-2}}\)
Zapiszmy to w bardziej odpowiedniej formie:
\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1}+8a_{n}}\)

W tym momencie tworzymy równanie charakterystyczne. Odpowiednim wyrazom przyporządkowujemy odpowiednie potęgi, czyli w tym przypadku otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}=2x^{1}+8x^{0}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x-8=0}\)

Po obliczeniach wychodzi nam, że:
\(\displaystyle{ x_{1}=4}\) \(\displaystyle{ x_{2}=-2}\)

Skoro mamy 2 pierwiastki równania charakterystycznego, to nasz wzór ogólny będzie miał postać zawsze postać:

\(\displaystyle{ a_{n}=A*x_{1}^{n}+B*x_{2}^{n}}\)
W naszym konkretnym przypadku:
\(\displaystyle{ a_{n}=A*4^{n}+B*(-2)^{n}}\)

Wyliczając mechanicznie z danych zadania, otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{3}=280}\)
\(\displaystyle{ a_{4}=1360}\)

Podstawiając sobie te dane do naszego niepełnego wzoru ogólnego otrzymujemy do rozwiązania układ równań:
\(\displaystyle{ 280=A*4^{3}+B*(-2)^{3}}\)
\(\displaystyle{ 1360=A*4^{4}+B*(-2)^{4}}\)

Po rozwiązaniu tego układu równań praktycznie bez wysiłku otrzymujemy postać ogólną wzoru:
\(\displaystyle{ a_{n}=5*4^{n}+5*(-2)^{n}}\)


Ważne uwagi:

a) Od razu nasuwa się pytanie, co się stanie jeśli delta równania charakterystycznego będzie ujemna? Odpowiedź jest dość brutalna. NIC. Należy wtedy wszystko wyliczyć w liczbach zespolonych.

b)Przypominam raz jeszcze w końcowych wnioskach, sposób ten tyczy się tylko i wyłącznie rekurencji liniowych. (Na pewne nieliniowe istnieje też sprytny sposób, który przedstawię kiedy indziej)

c)Postać ogólna każdego równania rekurencyjnego liniowego to:
\(\displaystyle{ a_{n}=A*x_{1}^{n}+B*x_{2}^{n}+C*x_{3}^{n}...itd}\)
Co się jednak dzieje jeżeli naszym równaniem charakterystycznym jest wielomian? Działamy tak samo jak z trójmianem kwadratowym ztymże, możemy tu uzyskać pierwiastki podwójne, potrójne, poczwórne, itd. (w trójmiannie kwadratowym też możemy otzrymać jeden pierwiastek podwójny). Wtedy już nasz wzór ogólny nieco się zmienia. Jeśli mamy jakiś pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ x_{n}}\) to zapiszemy go w następujący sposób:
\(\displaystyle{ ...+X*x_{n}^{n}+Y*x_{n}^{n}*n...}\). Zapisaliśmy go dwa razy, ztymże za drugim razem należy go pomnożyć przez n. Jeśli \(\displaystyle{ x_{n}}\) to pierwiastek potrójny, to należy go zapisać trzy razy: raz normalnie, raz normalnie razy \(\displaystyle{ n}\), a trzeci raz normalnie razy \(\displaystyle{ n*n}\), czyli \(\displaystyle{ n^{2}}\). Przy poczwórnym, popiątnym... i "pontnym" mamy tę samą zasadę.

[/u][/b]