Klasyfikacja podrozmaitości jednowymiarowych

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Klasyfikacja podrozmaitości jednowymiarowych

Post autor: max »

Twierdzenie (Klasyfikacja spójnych podrozmaitości różniczkowalnych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) wymiaru 1):

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością spójną \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas \(\displaystyle{ M}\) jest dyfeomorficzna z okręgiem \(\displaystyle{ S^{1}}\) lub z odcinkiem \(\displaystyle{ (0,1).}\)

Do dowodu tego twierdzenia przyda się pojęcie parametryzacji łukowej oraz dwa lematy:

Definicja
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Lokalną parametryzację \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M,}\) gdzie \(\displaystyle{ I\subset \mathbb{R}}\) jest przedziałem, a \(\displaystyle{ p(I) = U}\) jest podzbiorem otwartym \(\displaystyle{ M}\) nazywamy parametryzacją łukową, jeśli \(\displaystyle{ \|d_{x}p(1)\| = 1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in I.}\)

Lemat 1:
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Niech dana będzie parametryzacja łukowa \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M}\).
Wówczas istnieje dyfeomorfizm klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) między zbiorami otwartymi w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \varphi:\widetilde{I}\to I}\)
taki, że \(\displaystyle{ p\circ\varphi: \widetilde{I}\to U}\) jest parametryzacją łukową.

Dowód:    
Lemat 2:
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie spójną podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Niech dane będą parametryzacje łukowe \(\displaystyle{ p:I\to U\subset M, \ q: J\to V\subset M.}\) Wówczas \(\displaystyle{ W := U\cap V}\) ma co najwyżej dwie składowe spójne. Co więcej, jeśli \(\displaystyle{ W}\) ma jedną składową, to \(\displaystyle{ p}\) można przedłużyć do parametryzacji łukowej \(\displaystyle{ P:\widetilde{I}\to U\cup V.}\) Jeśli natomiast \(\displaystyle{ W}\) ma dwie składowe spójne, to \(\displaystyle{ M}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{1}.}\)
Dowód:    
Dowód twierdzenia:    
Wniosek 1 (Klasyfikacja podrozmaitości różniczkowalnych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) wymiaru 1):

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas
\(\displaystyle{ M = \bigcup_{n=1}^{N_{1}}A_{1,n} \cup \bigcup_{n=1}^{N_{2}}A_{2,n}}\)
dla pewnych:
\(\displaystyle{ N_{i}\in \{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}, \ i=1,2, \ N_{1} + N_{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ A_{i,j}}\) - podrozmaitości \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) takich, że:
(i)istnieją zbiory otwarte \(\displaystyle{ A_{i,j}\subset \Omega_{i,j}\subset\mathbb{R}^{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ \Omega_{i,j}\cap\Omega_{k,l} = \varnothing}\) dla \(\displaystyle{ (i,j)\neq (k,l)}\)
(ii)\(\displaystyle{ \forall_{n}\, A_{1,n}}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{1},}\) a \(\displaystyle{ A_{2,n}}\) jest dyfeomorficzna z \(\displaystyle{ (0,1)}\)

Ponadto \(\displaystyle{ M}\) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ N_{1}<\infty, \ N_{2} = 0.}\)

Dowód:    
Wniosek 2 (Orientowalność krzywych)
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie podrozmaitością \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}}\) wymiaru 1. Wówczas \(\displaystyle{ M}\) jest orientowalna.
Dowód:    
Ćwiczenie:
Sformułuj i udowodnij uogólnienia powyższych wyników na przypadek jednowymiarowych rozmaitości różniczkowalnych z brzegiem.

Bibliografia:
J. Milnor: Topology from differentiable viewpoint.

Może komuś się dziwnym trafem przyda, tak jak mi (być może) na egzamin z analizy.
ODPOWIEDZ