Metoda przewidywania dla równań różniczkowych liniowych

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Metoda przewidywania dla równań różniczkowych liniowych

Post autor: luka52 »

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu o stałych współczynnikach postaci:
\(\displaystyle{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = f(x) \quad (\star)}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wyrażeniem postaci: \(\displaystyle{ (\dagger ) \; e^{\alpha x} \left( W_n (x) \cos \beta x + V_m (x) \sin \beta x \right)}\) (lub składa się z sumy wyrażeń tego typu) możemy zastosować, do wyznaczenia całki szczególnej równania niejednorodnego \(\displaystyle{ (\star )}\), metodę przewidywania.
Dla każdego składnika postaci \(\displaystyle{ (\dagger )}\) przewidujemy wyrażenie:
\(\displaystyle{ x^k e^{\alpha x} \left( A_{\max \{ n, m\} } (x) \cos \beta x + B_{\max \{ n, m\} } (x) \sin \beta x \right)}\)
\(\displaystyle{ W}\), \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) to wielomiany o stopniach zaznaczonych w indeksach, zaś \(\displaystyle{ k}\) oznacza krotność pierwiastka \(\displaystyle{ \alpha + i \beta}\) (albo sprzężonego do niego) w równaniu charakterystycznym równania jednorodnego.


Przykłady
  • \(\displaystyle{ y' + y = x^2 + 1 + e^{-x} \; (1)}\) Jedynym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest \(\displaystyle{ -1}\). Dla części wielomianowej, tj. \(\displaystyle{ x^2 + 1}\) przewidywać będziemy wielomian drugiego stopnia: \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\). Zaś dla składnika z funkcją eksponencjalną, wyrażenie: \(\displaystyle{ d \cdot x e^{-x}}\) (gdyż -1 jest 1-krotnym pierwiastkiem). Do równania \(\displaystyle{ (1)}\) wstawiamy więc: \(\displaystyle{ y = ax^2+bx+c + d x e^{-x}}\) i wyznaczamy wszystkie stałe z tożsamości:
    \(\displaystyle{ a x^2 + (2a+b)x + (b+c)+ d e^{-x} \equiv x^2 + 1 + e^{-x}}\)
    Całką szczególną równania niejednorodnego \(\displaystyle{ (1)}\) jest: \(\displaystyle{ y_s = x^2 -2x + 3 + x e^{-x}}\).
  • \(\displaystyle{ y''' -2 y'' + 2y' = e^{x} x \sin x \; (2)}\) Pierwiastki równania charakterystycznego to: \(\displaystyle{ 0, \; 1+i , \; 1 - i}\). Ponieważ (tzw.) \(\displaystyle{ \alpha + i \beta = 1+i}\) i \(\displaystyle{ 1+i}\) jest 1-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, przewidywać będziemy wyrażenie postaci:
    \(\displaystyle{ y = x e^x \left( (ax+b) \cos x + (cx + d) \sin x \right)}\)
    Wstawiając powyższe do równania \(\displaystyle{ (2)}\), wyznaczamy stałe i otrzymujemy całkę szczególną: \(\displaystyle{ y_s = \tfrac{1}{4}x e^x \left( (x+1) \cos x + (x - 3 ) \sin x \right)}\).
Zablokowany