Nierówności całkowe

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Nierówności całkowe

Post autor: Wasilewski »

1) Nierówność Höldera

Najpierw dowiedziemy lematu dla nieujemnych liczb \(\displaystyle{ x,y \ge 0, \ \ p,q>1}\), takich że \(\displaystyle{ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}\).
Lemat:

\(\displaystyle{ x^{\frac{1}{p}}y^{\frac{1}{q}} \le \frac{x}{p} + \frac{y}{q}.}\)

Logarytmujemy nierówność stronami i stosujemy nierówność Jensena dla wklęsłej funkcji logarytm dla wag \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\).
Nierówność Höldera dla funkcji \(\displaystyle{ \ f(x), g(x) \ge 0}\) wygląda tak (dla uproszczenia będę pisał jedynie \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) dla oznaczenia funkcji oraz pominę wyrażenie \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\) pod całkami):

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f g \le \left( \int_{a}^{b} f^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \int_{a}^{b} g^{q}\right)^{\frac{1}{q}}, \\ \\
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, \\
p,q > 1.}\)


Dowód:
Stosujemy lemat dla
\(\displaystyle{ x = \frac{ f^{p}}{\int_{a}^{b} f^{p}}, \\ \\
y = \frac{g^{q}}{\int_{a}^{b} g^{q}}.}\)


Następnie całkujemy obustronnie na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\). Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left( \frac{f^{p}}{\int_{a}^{b} f^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \frac{g^{q}}{\int_{a}^{b} g^{q}}\right)^{\frac{1}{q}} \le \frac{1}{p} \left( \int_{a}^{b} \frac{f^{p}}{\int_{a}^{b} f^{p}}\right) + \frac{1}{q} \left( \int_{a}^{b} \frac{g^{q}}{\int_{a}^{b} q^{q}}\right) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.}\)

Po obustronnym przemnożeniu przez \(\displaystyle{ \left( \int_{a}^{b} f^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \int_{a}^{b} g^{q}\right)^{\frac{1}{q}}}\) dostajemy żądaną nierówność. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

2) Nierówność Schwarza

Jest to szczególny przypadek nierówności Höldera dla \(\displaystyle{ p=q=2}\):

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} fg \le \sqrt{ \int_{a}^{b} f^{2}} \cdot \sqrt{ \int_{a}^{b} g^{2}}.}\)

3) Nierówność Minkowskiego

Rozważmy funkcje \(\displaystyle{ f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{k} \ge 0.}\)

Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ p>1.}\)

Nierówność Minkowskiego wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left( \int_{a}^{b} \left(f_{1} + f_{2} + \ldots + f_{k}\right)^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \le \left[ \left( \int_{a}^{b} f_{1}^{p}\right)^{\frac{1}{p}} + \ldots + \left( \int_{a}^{b} f_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right].}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} (f_{1} +\ldots + f_{k})^{p} = \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} (f_{1} + \ldots + f_{k}) = \\ \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{1} + \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{2} + \ldots \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{k}.}\)

Do każdej z tych całek stosujemy nierówność Höldera z wykładnikami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ \frac{p}{p-1}}\):

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{1} + \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{2} + \ldots \int_{a}^{b} (f_{1} + \ldots + f_{k})^{p-1} f_{k} \le \left(\int_{a}^{b} \left(f_{1} + \ldots + f_{k}\right)^{p}\right)^{\frac{p-1}{p}} \left[ \left( \int_{a}^{b} f_{1}^{p}\right)^{\frac{1}{p}} + \ldots + \left( \int_{a}^{b} f_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right].}\)

Dzieląc obie strony nierówności przez czynnik \(\displaystyle{ \left( \int_{a}^{b} \left(f_{1} + f_{2} + \ldots + f_{k}\right)^{p}\right)^{\frac{p-1}{p}}}\) kończymy dowód nierówności Minkowskiego. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)

4) Nierówność Czebyszewa

Niech \(\displaystyle{ p(x)}\) będzie funkcją nieujemną, a \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) będą albo obie rosnące, albo obie malejące, wtedy zachodzi:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} p(x) \ f(x) \mbox{d}x \cdot \int_{a}^{b} p(x) \ g(x) \mbox{d}x \le \int_{a}^{b} p(x) \mbox{d}x\cdot \int_{a}^{b} p(x) \ f(x) \ g(x) \mbox{d}x.}\)

Dowód:
Napiszmy różnicę prawej i lewej strony, w obu iloczynach zamieniamy w drugim czynniku \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\), i zapisujemy te całki jako całki podwójne:

\(\displaystyle{ D = [a,b] \times [a,b], \\
\\
\int_{a}^{b} p(x) \mbox{d}x\cdot \int_{a}^{b} p(y) \ f(y) \ g(y) \mbox{d}y - \int_{a}^{b} p(x) \ f(x) \mbox{d}x \cdot \int_{a}^{b} p(y) \ g(y) \mbox{d}y = \\
\\
\iint_{D} p(x) \ p(y) \ f(y) \ g(y) \mbox{d}x \mbox{d}y - \iint_{D} p(x) \ f(x) \ p(y) \ g(y) \mbox{d}x\mbox{d}y = \\
\\
\iint_{D} p(x) \ p(y) \ g(y) (f(y) - f(x)) \mbox{d}x \mbox{d}y = \iint_{D} p(x) \ p(y) \ g(x) ((f(x) - f(y)) \mbox{d}x \mbox{d}y = \\
\\
\frac{1}{2} \iint_{D} p(x) \ p(y) (g(y) - g(x)) \cdot (f(y) - f(x)) \mbox{d}x \mbox{d}y \ge 0. \ \blacksquare
\\
\\}\)


Przedostatnia równość to jedynie zamiana miejscami \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\), a kolejna to wzięcie średniej arytmetycznej tych dwóch równych całek; nierówność wynika z założeń na temat naszych funkcji. Gdyby jedna z nich była rosnąca, a druga malejąca, to nierówność zachodziłaby ze zmienionym znakiem.

Przyjmując \(\displaystyle{ p(x) \equiv 1}\) możemy prosto przez indukcję otrzymać nierówność (wszystkie funkcje są tak samo monotoniczne, dodatkowo przyjmują wartości nieujemne; założenie potrzebne, by iloczyn tych funkcji też był funkcją o takiej samej monotoniczności):

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f_{1}(x) \mbox{d}x \cdot \int_{a}^{b} f_{2}(x) \mbox{d}x \cdot \ldots \cdot \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mbox{d}x \le (b-a)^{n-1} \cdot \int_{a}^{b} f_{1}(x) \ f_{2}(x) \ldots f_{n}(x) \mbox{d}x.}\)

5) Nierówność Younga

Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie funkcją ciągłą i rosnącą w przedziale \(\displaystyle{ [0,c]}\), taką że \(\displaystyle{ f(0) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) też jest ciągła; wtedy zachodzi:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} f(x) \mbox{d}x + \int_{0}^{b} f^{-1}(x) \mbox{d}x \ge ab, \\
\\ 0\le a \le c, \ 0 \le b \le f(c).}\)


Najpierw poczyńmy pewne przygotowania do dowodu. Pokażemy, że zachodzi

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} (f(a) - f(x))\mbox{d}x = \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(x) \mbox{d}x.}\)

Napiszmy sumę całkową dla lewej strony dowodzonej równości:

\(\displaystyle{ \frac{a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left(f(a) - f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right)\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(k+1)a - ka}{n} \cdot \left(f(a) - f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right)\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \left[f^{-1} \left(f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right)\right) - f^{-1} \left(f\left(\frac{ka}{n}\right)\right)\right] \cdot \left(f(a) - f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right)\right) = \\ \\ \sum_{k=0}^{n-1} f^{-1}\left(f\left(\frac{ka}{n}\right)\right) \cdot \left(f\left(\frac{(k+1)a}{n}\right) - f\left(\frac{ka}{n}\right)\right).}\)

Wobec ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) wzór ten przedstawia sumę całkową dla prawej strony dowodzonej równości; tym samym dowód jest zakończony.

Przejdźmy do dowodu wyjściowej nierówności.

Dowód:
\(\displaystyle{ ab = \int_{0}^{a} f(x)\mbox{d}x + \int_{0}^{a} (f(a) - f(x)) \mbox{d}x + \int_{0}^{a} (b-f(a)) \mbox{d}x = \int_{0}^{a} f(x) \mbox{d}x + \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(x) \mbox{d}x + (b-f(a))\cdot a \le \int_{0}^{a} f(x) \mbox{d}x + \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(x) \mbox{d}x + \int_{f(a)}^{b} f^{-1}(x) dx = \int_{0}^{a} f(x) \mbox{d}x + \int_{0}^{b} f^{-1}(x) \mbox{d}x. \ \blacksquare}\)
Zastosowaną nierówność można uzasadnić korzystając z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\). Widać stąd, że równość zachodzi jedynie, gdy \(\displaystyle{ b=f(a)}\).

Zauważmy, że szczególnym przypadkiem nierówności Younga jest lemat, który wykorzystaliśmy przy dowodzie nierówności Höldera, wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ f(x) = x^{p-1}}\). Możemy teraz na przykład ustalić, kiedy zachodzi równość w nierówności Höldera.

6) Nierówność Jensena

Nierówność, którą zajmiemy się w tym punkcie ma taką postać (dla pewnej funkcji wypukłej \(\displaystyle{ \varphi(x)}\)):

\(\displaystyle{ \varphi\left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right) \le \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \varphi(f(x)) \mbox{d}x.}\)

Będziemy korzystać z faktu, iż wykres funkcji wypukłej leży nad styczną, skąd:

\(\displaystyle{ \varphi(x) \ge \varphi(x_{0}) + \varphi'(x_{0})(x-x_{0}).}\)

Niech \(\displaystyle{ x=f(t)}\) oraz przyjmijmy \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x}\), co daje nam zależność:

\(\displaystyle{ \varphi(f(t)) \ge \varphi\left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right) + \varphi'(x_{0}) \cdot \left(f(t) - \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right).}\)

Żeby zakończyć dowód weźmy wartość średnią obu stron nierówności na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \varphi(f(t)) \mbox{d}t \ge \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \varphi\left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right)\mbox{d}t + \varphi'(x_{0}) \cdot \frac{1}{b-a} \underbrace{\int_{a}^{b} \left(f(t) - \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right) \mbox{d}t}_{=0} = \varphi\left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x\right). \ \blacksquare}\)
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Nierówności całkowe

Post autor: luka52 »

Poniżej podaję kolejne nierówności bez dowodu.


7) Nierówność Steffensena

Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie nieujemna i monotonicznie malejąca w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz niech \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ 0 \le g(x) \le 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in [a,b]}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \int_{b-k}^b f(x) \; \mbox d x \le \int_a^b f(x) g(x) \; \mbox d x \le \int_a^{a+k} f(x) \; \mbox d x}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ k = \int_a^b g(x) \; \mbox d x}\) .


8) Nierówność Grama

Niech \(\displaystyle{ f_1 (x), f_2 (x), \ldots, f_n (x)}\) będą funkcjami rzeczywistymi, całkowalnymi z kwadratem na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
\int_a^b f_1^2 (x) \, \mbox dx & \int_a^b f_1 (x) f_2(x) \, \mbox dx & \ldots & \int_a^b f_1 (x) f_n(x) \, \mbox dx \\
\int_a^b f_2 (x) f_1(x) \, \mbox dx & \int_a^b f_2^2(x) \, \mbox dx & \ldots & \int_a^b f_2 (x) f_n(x) \, \mbox dx \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\int_a^b f_n(x) f_1 (x) \, \mbox dx & \int_a^b f_n (x) f_2(x) \, \mbox dx & \ldots & \int_a^b f_n^2(x) \, \mbox dx \\
\end{vmatrix} \ge 0}\)

9) Nierówność Ostrowskiego

Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie funkcją monotoniczną w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) i niech \(\displaystyle{ f(a)f(b) \ge 0, |f(a)| \ge |f(b)|}\). Wtedy, jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rzeczywistą, całkowalną na \(\displaystyle{ [a,b]}\), to:
\(\displaystyle{ \left| \int_a^b f(x) g(x) \; \mbox d x \right| \le |f(a)| \max_{a \le \xi \le b} \left| \int_a^\xi g(x) \; \mbox d x \right|}\)


10) Nierówność Carlemana dla całek

Jeśli \(\displaystyle{ f(x) \ge 0}\) i całki istnieją, to:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \exp \left( \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} f(t) \;\mbox d t \right) \; \mbox d x \le e \int_0^{+\infty} f(x) \; \mbox d x}\)


11) Nierówność Bessela dla uogólnionych szeregów Fouriera

Niech \(\displaystyle{ \{ \phi_n \}_{n = 0}^{+\infty}}\) będzie zbiorem funkcji ortonormalnych na \(\displaystyle{ [a,b]}\), tj.:
\(\displaystyle{ \int_a^b \phi_m (x) \phi_n (x) \; \mbox d x = \delta_{mn}}\)
uogólnionym szeregiem Fouriera funkcji całkowalnej \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) nazywamy szereg:
\(\displaystyle{ f(x) \sim \sum_{n = 0}^{+\infty} c_n \phi_n (x)}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ c_n = \int_a^b f(x) \phi_n (x) \; \mbox d x}\) oraz zachodzi następująca nierówność:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{+\infty} c_n^2 \le \int_a^b f^2(x) \; \mbox d x}\) .
Równość (Parseval) zachodzi, gdy \(\displaystyle{ \{ \phi_n \}}\) tworzy zbiór zupełny funkcji ciągłych.
ODPOWIEDZ