Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego

Post autor: luka52 » 30 lip 2008, o 22:39

Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma pierwiastki wielokrotne, to ma miejsce następujący wzór
\(\displaystyle{ \int {R(x)\over P(x)} \; \mbox d x = {T(x)\over S(x)} + \int {X(x)\over Y(x)} \mbox d x \qquad (*)}\)
gdzie \(\displaystyle{ S(x)}\) to największy wspólny dzielnik wielomianu \(\displaystyle{ P}\) i jego pochodnej \(\displaystyle{ P'}\). Wielomian \(\displaystyle{ Y}\) spełnia zaś związek \(\displaystyle{ Y(x) = P(x) : S(x)}\). O wielomianach z liczników zakładamy, iż spełniają następujące związki
\(\displaystyle{ \deg R \leqslant \deg P - 1, \quad \deg T \leqslant \deg S - 1, \quad \deg X \leqslant \deg Y - 1}\)
Nieznane wielomiany \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ X}\) wyznaczamy różniczkując obie strony równości (*).



Przykłady:
1) \(\displaystyle{ I = \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2}}\)

Korzystając z poznanych przed chwilą wiadomości zapisujemy
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{A}{x-1} + \int \frac{B}{x-1} \; \mbox d x \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & - \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{-A - B + B x}{(x-1)^2} \iff (A,B) = (-1,0) \end{eqnarray*}}\)

stąd mamy
\(\displaystyle{ I = C - \frac{1}{x-1}}\)


2) \(\displaystyle{ I = \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x}\)

Ponownie zapisujemy poznaną formułkę
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x & \equiv & \frac{A x^2 + B x + C}{(x+1)(x^2 +1)} + \int \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)} \; \mbox d x \\
\frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} & \equiv & \frac{B-C+2 A x-2 C x+A x^2-B x^2-3 C x^2-2 B x^3-A x^4}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} + \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)}\\
& \vdots & \\
(A, B, C, D, E, F) &=& \left( -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{4}, 0, -1, \frac{9}{2} \right)
\end{eqnarray*}}\)

ostatecznie
\(\displaystyle{ I = \frac{1}{8} \left(\frac{2+14 x-8 x^2}{1+x+x^2+x^3}+14 \arctan x +22 \ln |1+x | -11 \ln \left|1+x^2\right|\right) + C}\)


Jak widać stosując zaprezentowaną metodę w praktyce nie zawsze oszczędzamy czas, jednak pomimo tego wydaje mi się ona godna zapamiętania - nawet jako ciekawostka

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6807
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1232 razy

Re: Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego

Post autor: mariuszm » 20 cze 2022, o 16:29

luka52 pisze:
30 lip 2008, o 22:39
Jak widać stosując zaprezentowaną metodę w praktyce nie zawsze oszczędzamy czas, jednak pomimo tego wydaje mi się ona godna zapamiętania - nawet jako ciekawostka
Można tę metodę tak zoptymalizować aby była ona równie szybka co rozkład na sumę ułamków prostych

\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)

Zakładamy też że \(\displaystyle{ Q_{1}\left( x\right) }\) nie jest wielomianem stopnia zerowego

Rozpiszmy trochę powyższą równość

\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)

\(\displaystyle{ \deg P\left( x\right) < \deg Q\left( x\right)\\
\deg P_{1}\left( x\right) < \deg Q_{1}\left( x\right)\\
\deg P_{2}\left( x\right) < \deg Q_{2}\left( x\right)\\
Q_{1}\left( x\right) = \mathrm{GCD}\left(Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) \\
Q\left( x\right)= Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)
}\)


Jeżeli mamy podany rozkład mianownika \(\displaystyle{ Q\left( x\right) }\) na czynniki
to mianowniki \(\displaystyle{ Q_{1}\left( x\right) }\) oraz \(\displaystyle{ Q_{2}\left( x\right) }\)
dość łatwo znajdziemy korzystając z tego rozkładu na czynniki
Jeżeli nie mamy podanego rozkładu mianownika \(\displaystyle{ Q\left( x\right) }\) na czynniki
to musimy się bawić z braniem reszt z kolejnych dzieleń
ale i tak nie jest to bardziej czasochłonne niż rozkład na czynniki

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(\int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x} \right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x} \right) \\
\frac{d}{dx}\left(\int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x} \right)=\frac{d}{dx}\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+ \frac{d}{dx}\left( \int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}\right) \\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right) }{Q_{1}^2\left( x\right) } + \frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)+Q_{1}^2\left( x\right)P_{2}\left( x\right) }{Q_{1}^2\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)}\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)-P_{1}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)+Q_{1}^2\left( x\right)P_{2}\left( x\right) }{Q\left( x\right) Q_{1}\left( x\right)}\\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{Q_{1}\left( x\right)\left(P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right) \cdot \frac{Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)} + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)\right) }{Q_{1}\left( x\right)Q\left( x\right)} \\
}\)


Niech \(\displaystyle{ H\left( x\right) = \frac{Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right) }{Q_{1}\left( x\right) } }\)

Można pokazać że \(\displaystyle{ H\left( x\right) }\) zawsze będzie wielomianem

\(\displaystyle{
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } = \frac{Q_{1}\left( x\right)\left(P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)\right) }{Q_{1}\left( x\right)Q\left( x\right)} \\
\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } =\frac{P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)}{Q\left( x\right)}\\
P\left( x\right) = P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)
}\)


W skrócie

Zakładamy że całka jest w postaci

\(\displaystyle{ \int{\frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right)}{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x}}\)

gdzie

\(\displaystyle{
\deg P\left( x\right) < \deg Q\left( x\right)\\
\deg P_{1}\left( x\right) < \deg Q_{1}\left( x\right)\\
\deg P_{2}\left( x\right) < \deg Q_{2}\left( x\right)\\
}\)


Obliczamy mianowniki oraz pomocniczy wielomian

\(\displaystyle{
Q_{1}\left( x\right) = \mathrm{GCD}\left(Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) \\
Q\left( x\right)= Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)\\
Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right)=Q_{1}\left( x\right)H\left( x\right)
}\)


Za współczynniki liczników \(\displaystyle{ L_{1}\left( x\right) }\) oraz \(\displaystyle{ L_{2}\left( x\right) }\)
obieramy współczynniki literowe i wstawiamy je do równości

\(\displaystyle{ P\left( x\right) = P_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right)- P_{1}\left( x\right)H\left( x\right) + P_{2}\left( x\right)Q_{1}\left( x\right)}\)

Stąd po porównaniu współczynników przy wielomianach bądź po wstawieniu za x ulubionych wartości
dostaniemy układ równań w postaci Cramera

ODPOWIEDZ