Całka funkcji odwrotnej

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7374
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2637 razy
Pomógł: 689 razy

Całka funkcji odwrotnej

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 wrz 2021, o 17:35

Problem
Dana jest funkcja odwracalna i całkowalna \(\displaystyle{ f }\). Jak można obliczyć \(\displaystyle{ \int f^{-1} (x)dx }\) ?

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie funkcją pierwotną dla \(\displaystyle{ f}\). Jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = f(t) \\ t = f^{-1} (x) \\ dx=f^{\prime}(t)dt \end{cases} }\)
to po przekształceniu i całkowaniu przez części :
\(\displaystyle{ \int f^{-1} (x)dx = \int t f^{\prime}(t) dt = t f(t) - \int f(t) dt = t f(t) - F(t) }\)

tj.

(***) \(\displaystyle{ \int f^{-1} (x)dx = x f^{-1} (x) - F( f^{-1} (x) ) }\)
*********************************************************************
Przykład
\(\displaystyle{ \int \ln(x) dx }\)

Mamy \(\displaystyle{ f(x)=e^x= F(x)}\), tj. \(\displaystyle{ \int \ln(x) dx = x \ln(x) - e^{\ln(x)}+C = x \ln(x) - x+C }\)


Przykład
\(\displaystyle{ \int \frac{1+ \sqrt{1-4x^2}}{x} dx }\)

Jeśli \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x^2+1}}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = \frac{1+ \sqrt{1-4x^2}}{2x} }\) (gdy \(\displaystyle{ |x| \leq \frac{1}{2}}\)) stąd
\(\displaystyle{ \int \frac{1+ \sqrt{1-4x^2}}{x} dx = 2(x \frac{1+ \sqrt{1-4x^2}}{2x} -\frac{1}{2} \ln( 1+ ( \frac{1+ \sqrt{1-4x^2}}{2x})^2 ) ) }\)


Przykład
\(\displaystyle{ \int \arctg (x) dx }\)

Mamy \(\displaystyle{ f(x) = \tg(x)}\) funkcją pierwotną tangensa jest \(\displaystyle{ - \ln(\cos(x))}\)
stąd \(\displaystyle{ \int \arctg (x) dx = x \arctg(x) + \ln( \cos( \arctg(x) ) ) + C}\)

ODPOWIEDZ