Kryterium ilorazowe

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9526
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2118 razy

Kryterium ilorazowe

Post autor: Dasio11 » 20 gru 2011, o 23:37

Kryterium ilorazowe
Dla \(\displaystyle{ f, g : \mathbb N \to (0, \infty)}\) oznaczmy \(\displaystyle{ f \sim g,}\) gdy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=a \in (0, \infty).}\)

Nietrudno sprawdzić, że relacja \(\displaystyle{ \sim}\) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, jest więc relacją równoważności.


Przykłady
  • \(\displaystyle{ a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \ldots + a_1 n + a_0 \sim n^k}\) gdy \(\displaystyle{ a_k > 0}\)
  • \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k a_j n^{\lambda_j} \sim n^{\lambda_k}}\) gdy \(\displaystyle{ a_k > 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_k}\) (przykład wcześniejszy wynika stąd dla \(\displaystyle{ \lambda_j \in \{0, 1, 2, \ldots \}}\))
  • \(\displaystyle{ a_n+b_n \sim a_n}\) jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n}=c \in \left< 0, \infty \right)}\)
  • \(\displaystyle{ \ln n^p \sim \ln n}\) dla \(\displaystyle{ p \in (0, \infty)}\)
  • \(\displaystyle{ \left| (n+1)^p-n^p \right| \sim n^{p-1}}\) dla \(\displaystyle{ p \neq 0}\)

    np. \(\displaystyle{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n^2}}\)
  • \(\displaystyle{ \log_c \left(1+a_n \right) \sim a_n \sim c^{a_n}-1}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n=0}\) oraz \(\displaystyle{ c>1}\)

    (w szczególności \(\displaystyle{ \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \sim \frac{1}{n} \sim \sqrt[n]{c}-1}\))
  • \(\displaystyle{ \tg a_n \sim a_n \sim \sin a_n}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0}\)
  • \(\displaystyle{ \ctg a_n \sim \frac{1}{a_n}}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n =0}\)
  • \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} \sim n}\)
    (wynika to ze wzoru Stirlinga: \(\displaystyle{ n! = \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{\lambda_n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \lambda_n \in \left( \frac{1}{12n+1}, \frac{1}{12n} \right)}\)

    lub z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) dla \(\displaystyle{ a_n=\frac{n!}{n^n}}\))

Fakt.

Gdy \(\displaystyle{ a_n \sim a'_n}\) i \(\displaystyle{ b_n \sim b'_n,}\) to
  • \(\displaystyle{ a_n \cdot b_n \sim a'_n \cdot b'_n}\)
  • \(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \sim \frac{a'_n}{b'_n}}\)
  • \(\displaystyle{ \left( a_n \right)^c \sim \left(a'_n \right)^c}\) dla \(\displaystyle{ c \in \mathbb R}\)
  • Gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a'_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{b'_n},}\) to \(\displaystyle{ a_n + b_n \sim a'_n + b'_n}\)
Dowód:    

Gdy \(\displaystyle{ a_n \sim b_n,}\) to na mocy kryterium ilorazowego szeregi

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\)

są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Wykorzystamy to do automatycznego badania zbieżności niektórych szeregów. Będziemy potrzebowali wiedzieć, że


(1) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha \le 1;}\)


(2) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}}\) jest zbieżny a \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}}\) rozbieżny;


(3) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\) i rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q| \ge 1.}\)



\(\displaystyle{ \mbox{1. } \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} \tg \frac{1}{n}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{2. } \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{\sqrt{n}} \cos \frac{1}{n^2}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{3. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8n^4+ \frac{1}{4}\sqrt{n} + \pi n^e}{3n^{\frac{17}{3}} + 27n^5 -100n^3}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{4. } \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{5. } \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{ \left| \ln \cos \frac{1}{n} \right|}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{6. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ctg \frac{1}{n^2}}{n^3}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{7. } \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln \left(n^2+1 \right)}{n \ln^3 n}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{8. }\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{\ln^2 n}}\)
Rozwiązanie:    
\(\displaystyle{ \mbox{9. }\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[n]{25} - 2 \sqrt[n]{5} +1 \right)}\)
Rozwiązanie:    

Wszelkie uwagi na PW mile widziane.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6503
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Kryterium ilorazowe

Post autor: mol_ksiazkowy » 14 kwie 2021, o 14:02

:arrow: W uzupełnieniu tego i wątku Przykłady badania zbieżności szeregów
inne kryteria zbieżności szeregów


Kryterium Kummera
Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest szeregiem o wyrazach dodatnich i ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) o wyrazach dodatnich taki, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n}= +\infty}\) oraz \(\displaystyle{ K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1} } –c_{n+1}}\).
Gdy dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) tj. (\(\displaystyle{ n>N}\)) oraz jakiegoś \(\displaystyle{ r>0}\) jest \(\displaystyle{ K_n \geq r}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny; a jeśli \(\displaystyle{ K_n \leq 0 }\) to jest rozbieżny


Kryterium Raabego
K. Kummera dla \(\displaystyle{ c_n=n}\).


kryterium Jermakowa
Jeśli \(\displaystyle{ f(x) }\) jest takie, jak w kryterium całkowym, oraz \(\displaystyle{ \frac{e^xf(e^x)}{f(x)} \leq a <1 }\) dla \(\displaystyle{ x \geq x_0 }\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }\) jest zbieżny, a rozbieżny gdy \(\displaystyle{ \frac{e^xf(e^x)}{f(x)} \geq 1 }\)


Porównawcze drugiego rodzaju
Jeśli dane są szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) o wyrazach dodatnich przy czym \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n} }\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\) jest zbieżny, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest także zbieżny. Także jeśli \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{d_{n+1}}{d_n} }\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} d_n}\) jest rozbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest także rozbieżny


kryterium Schlömilcha
Jeśli dla szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) o wyrazach dodatnich, \(\displaystyle{ S_n = n \ln(\frac{a_n}{a_{n+1}})}\). Jeśli \(\displaystyle{ \lim inf \ S_n >1}\) to ten szereg jest zbieżny. Jeśli \(\displaystyle{ S_n \leq 1}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) to jest rozbieżny


kryterium Gaussa
Jeśli istnieją liczby \(\displaystyle{ a, b >0}\) oraz ciąg ograniczony \(\displaystyle{ c_n}\), taki że dla \(\displaystyle{ n>N >0}\) jest \(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}} =a+ \frac{b}{n}+ \frac{c_n}{n^2} }\) to
szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest zbieżny gdy \(\displaystyle{ a>1}\) lub \(\displaystyle{ a=1}\) oraz \(\displaystyle{ b>1}\), zaś rozbieżny gdy \(\displaystyle{ a<1}\) lub \(\displaystyle{ a=1}\) oraz \(\displaystyle{ b\leq 1}\)
:arrow:

ODPOWIEDZ