Kryterium ilorazowe
Dla \(\displaystyle{ f, g : \mathbb N \to (0, \infty)}\) oznaczmy \(\displaystyle{ f \sim g,}\) gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=a \in (0, \infty).}\)
Nietrudno sprawdzić, że relacja \(\displaystyle{ \sim}\) jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, jest więc relacją równoważności.
Przykłady
- \(\displaystyle{ a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \ldots + a_1 n + a_0 \sim n^k}\) gdy \(\displaystyle{ a_k > 0}\)
- \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^k a_j n^{\lambda_j} \sim n^{\lambda_k}}\) gdy \(\displaystyle{ a_k > 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_k}\) (przykład wcześniejszy wynika stąd dla \(\displaystyle{ \lambda_j \in \{0, 1, 2, \ldots \}}\))
- \(\displaystyle{ a_n+b_n \sim a_n}\) jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n}=c \in \left< 0, \infty \right)}\)
- \(\displaystyle{ \ln n^p \sim \ln n}\) dla \(\displaystyle{ p \in (0, \infty)}\)
- \(\displaystyle{ \left| (n+1)^p-n^p \right| \sim n^{p-1}}\) dla \(\displaystyle{ p \neq 0}\)
np. \(\displaystyle{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n^2}}\) - \(\displaystyle{ \log_c \left(1+a_n \right) \sim a_n \sim c^{a_n}-1}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n=0}\) oraz \(\displaystyle{ c>1}\)
(w szczególności \(\displaystyle{ \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \sim \frac{1}{n} \sim \sqrt[n]{c}-1}\)) - \(\displaystyle{ \tg a_n \sim a_n \sim \sin a_n}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0}\)
- \(\displaystyle{ \ctg a_n \sim \frac{1}{a_n}}\) o ile \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n =0}\)
- \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} \sim n}\)
(wynika to ze wzoru Stirlinga: \(\displaystyle{ n! = \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{\lambda_n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \lambda_n \in \left( \frac{1}{12n+1}, \frac{1}{12n} \right)}\)
lub z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) dla \(\displaystyle{ a_n=\frac{n!}{n^n}}\))
Fakt.
Gdy \(\displaystyle{ a_n \sim a'_n}\) i \(\displaystyle{ b_n \sim b'_n,}\) to
- \(\displaystyle{ a_n \cdot b_n \sim a'_n \cdot b'_n}\)
- \(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} \sim \frac{a'_n}{b'_n}}\)
- \(\displaystyle{ \left( a_n \right)^c \sim \left(a'_n \right)^c}\) dla \(\displaystyle{ c \in \mathbb R}\)
- Gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a'_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{b'_n},}\) to \(\displaystyle{ a_n + b_n \sim a'_n + b'_n}\)
Dowód:
Gdy \(\displaystyle{ a_n \sim b_n,}\) to na mocy kryterium ilorazowego szeregi
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\)
są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Wykorzystamy to do automatycznego badania zbieżności niektórych szeregów. Będziemy potrzebowali wiedzieć, że
(1) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha \le 1;}\)
(2) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}}\) jest zbieżny a \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}}\) rozbieżny;
(3) Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} q^n}\) jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\) i rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q| \ge 1.}\)
\(\displaystyle{ \mbox{1. } \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} \tg \frac{1}{n}}\)
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Wszelkie uwagi na PW mile widziane.