Iloczyn nieskończony to wyrażenie \(\displaystyle{ (1+a_1)( 1+a_2) ... (1+a_n)...}\) gdzie \(\displaystyle{ a_j \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ j=1, 2, 3,...}\). (*)
Jeśli \(\displaystyle{ (1+a_1)( 1+a_2) ... (1+a_n)= I_n = \prod_{j=1}^n (1+ a_j)}\) to
\(\displaystyle{ I = \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n) = \lim_{n \to \infty} I_n}\)
(*) Można też zakładać, iż \(\displaystyle{ a_j \neq -1}\) (Jeśli \(\displaystyle{ a_j=-1}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ j}\) to \(\displaystyle{ I=0}\)).
\(\displaystyle{ I_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\) tym iloczynem cząstkowym.
Jeśli wartość iloczynu nieskończonego \(\displaystyle{ I}\) istnieje i jest różna od zera i od \(\displaystyle{ \pm \infty}\), to taki iloczyn nazywa się zbieżnym. W innych sytuacjach iloczyn nieskończony jest rozbieżny; np. rozbieżnym do zera jest:
\(\displaystyle{ \prod_{j=2}^{\infty} (1 - \frac{1}{j}) = \lim_{n \to \infty} \prod_{j=2}^n (1 - \frac{1}{j}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot …. \frac{n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0}\).
Jeśli iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n)}\) jest zbieżnym, to \(\displaystyle{ \lim a_n =0}\) - ale nie odwrotnie. (analogia z szeregami).
Jeśli istnieje \(\displaystyle{ n_0}\) takie, że dla \(\displaystyle{ a_n >0}\) dla \(\displaystyle{ n >n_0}\) to zbieżność iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n)}\) jest równoważna zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\).
Sumy a iloczyny
\(\displaystyle{ a_m = a_0 + (a_1 - a_0) + ... + (a_m - a_{m - 1})}\) (ciąg a szereg)
\(\displaystyle{ s_n = \sum_{j=0}^{n} a_j = s_0 \frac{s_1}{s_0}... \frac{s_n}{s_{n - 1}}=s_0 \prod_{j=0}^{n-1} (1 + \frac{a_{j+1}}{a_0 + ... +a_j})}\)
o ile \(\displaystyle{ s_j \neq 0}\) (szereg a iloczyn)
np. \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}}\) i \(\displaystyle{ \prod_{n=2}^{\infty}\frac{2^n -1}{2^n -2}}\) są równe.
Przykłady
i) \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}= \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} } \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} } } … \approx 0,63}\) (F. Vieta *)
ii) \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2 -1} = \frac{\pi}{2}}\)
iii) \(\displaystyle{ (1- \frac{1}{4})(1- \frac{1}{9}) (1- \frac{1}{16}) ... = \frac{1}{2}}\) (J. Wallis, 1656 r.)
(*) gdyż \(\displaystyle{ n}\) ty składnik iloczynu to \(\displaystyle{ \cos (\frac{\pi}{2^{n+1}})}\)
Zadania (Uwagi: Nie przedstawiać tu rozwiązań )
1. Podać przykład iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)}\) który jest zbieżny, ale iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1+|a_n|)}\) nie jest zbieżny
tj. warunkowo zbieżnego
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{2})(1+ \frac{1}{4}) (1+ \frac{1}{8}) ... = 2}\)
3. Jaki szereg jest równy \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{2}{n(n+1)})}\)
4. Wskazać ilustracje geometryczną przykładu i) (wzór Viety)
5. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{7}{9} \cdot \frac{26}{28} \cdot \frac{63}{65} \cdot ... = \frac{2}{3}}\)
Ukryta treść: