Wariancja zmiennej ciągłej

[Mersenne]

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{9}x^{2}}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq x\leq3}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych wartości.

Zatem możemy zapisać:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 dla x3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ E(X)= t_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx}\)

\(\displaystyle{ E(X)= t_{-\infty}^{0} 0 dx+ t_{0}^{3} \frac{1}{9} x^{3} dx+ t_{3}^{+\infty} 0 dx=\frac{9}{4}}\)- wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X)= t_{-\infty}^{+\infty} [x-E(X)]^{2}f(x) dx}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X)= t_{0}^{3} ft(x-\frac{9}{4}\right)^{2} \frac{1}{9}x^{2} dx= t_{0}^{3} ft(\frac{1}{9}x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{9}{16}x^{2}\right) dx=\frac{27}{80}}\)

\(\displaystyle{ D(X)=\sqrt{\frac{27}{80}} 0,58}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić rozwiązanie?

Z góry dziękuję.

[Emiel Regis]

Wszystko w porzadku.

Na przyszłość polecam liczenie wariancji ze wzoru:

\(\displaystyle{ D^2(X) = EX^2 - E^2X}\)

Z reguły jest nieco krócej.

[Mersenne]

Dzięki bardzo za sprawdzenie obu zadań.