Gestosc, dystrybuanta, prosze o sprawdzenie i wskazowki

[raisin]

Niech T~Expo(\(\displaystyle{ \theta}\)) , czyli funkcja gestosci wyraza sie wzorem :

\(\displaystyle{ f_{T}}\)(t) = \(\displaystyle{ \begin{cases} \theta exp(-\theta t) & \mbox{dla} \ t\ (0 +\infty )\\
0 & \mbox{dla pozostalych} \end{cases}}\)


a) Let S= \(\displaystyle{ T^{1/6}}\). Pokaz , ze funkcja gestosci S jest rowna :


\(\displaystyle{ f_{S}}\)(s) = \(\displaystyle{ \begin{cases} 6 \theta s^{5} exp(-\theta s^{6} ) & \mbox{dla} \ s\ (0 +\infty )\\
0 & \mbox{dla pozostalych} \end{cases}}\)



b) Znajdz \(\displaystyle{ F_{s} ( )}\)


c) Dla \(\displaystyle{ \theta}\) = 0.4 oblicz P{S \(\displaystyle{ \leqslant}\) 0.6} oraz P{0.4 < S < 1.6}


ad.a) wzorowalam sie na podobnych zadaniach znalezionych na forum ale nie wszystko rozumiem, bardzo prosze o sprawdzenie .


\(\displaystyle{ F_{S}}\)(s) = P (S f _{T}( s^{6}[/latex]) = 6 \(\displaystyle{ s^{5}\cdot \theta exp (-\theta s^{6})}\) ?


mam problem z oznaczeniami T i S i nie wiem czy ten zapis powyzej jest poprawny ?




ad.b) wiemy, ze

\(\displaystyle{ F^{'}}\)(s) = f(s)
czyli teraz wystarczy policzyc calke z f(s) w granicach od 0 do spewnej stalej np s ? ( wlasnie za bardzo nie orientuje sie w jakich granicach nalezy calkowac )

F(s) = \(\displaystyle{ \int_{0}^{s }}\) \(\displaystyle{ 6\theta s^{5} exp (-\theta s^{6})}\) =
- \(\displaystyle{ [e^{\theta s^{6} } ]^{s}_{0}}\) = \(\displaystyle{ 1-e^{-\theta s^{6} }}\)


ad.c) z tego co wiem, to P{0.4 < S < 1.6} = \(\displaystyle{ \int_{0.4}^{1.6}}\) f(s) , czy w takim razie P{S \(\displaystyle{ \leqslant}\) 0.6} bedzie rowne \(\displaystyle{ \int_{0}^{0.6}}\) f(s) czy moze \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{0.6}}\)f(s) ? a moze trzeba to rozbic na dwie calki \(\displaystyle{ \int_{- }^{0} + t_{0}^{0.6}}\) ?


bede wdzieczna za wszelkie wskazowki

[soku11]

a) Wiadomym jest, ze:
\(\displaystyle{ F_X(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f_X(t)\mbox{d}t\\}\)

Dziedzina dystrybuanty zmiennej losowej S bedzie oczywiscie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Mozemy odrazu zauwazyc, ze dla wartosci \(\displaystyle{ x \le 0}\) bedzie ona wynosila 0(tutaj trzeba sie pobawic przeciwobrazem dystrybuanty zmiennej T). Mamy wiec juz czesci naszej funkcji gestosci, bo jak i dystrybuanta 0, to i funkcja gestosci musi byc 0. Aby otrzymac funkcje gestosci musimy rozpisac tak jak to rozpisales, by otrzymac dystrybuante.
Wiemy juz teraz, ze:
\(\displaystyle{ F_S(s)=F_T(s^6)\\
F_T(t)=\theta\cdot \mbox{exp}(-\theta t)\\}\)

Pozostaje nam znalezc na podstawie tej informacji funkcje gestosci w pozostalym przedziale. Patrzymy na wzor na samej gorze i mamy, ze:
\(\displaystyle{ f_T(t)=[\theta\cdot \mbox{exp}(-\theta s^6)]'=
\theta\cdot \mbox{exp}(-\theta s^6)\cdot (-6s^5)=
-6s^6\theta\cdot \mbox{exp}(-\theta s^6)\\}\)

Nie wiem tylko, czy cos z tym minusem nie pomylilem...


b) Tak, trzeba scalkowac funkcje gestosci, by otrzymac dystrybuante:
\(\displaystyle{ F_S(s)=\int\limits_{-\infty}^{s} f_S(t)\mbox{d}t=
\begin{cases}
\int\lmits_{-\infty}^{s} 0\cdot \mbox{d}t,\; s\le 0\\
\int\limits_{-\infty}^{s} 6\theta t^5 \mbox{exp}(-\theta t^6)\cdot \mbox{d}t,\; s>0
\end{cases}=
\begin{cases}
0, s\le 0\\
\int\limits_{0}^{s} 6\theta t^5 \mbox{exp}(-\theta t^6)\cdot \mbox{d}t,\; t>0
\end{cases}=
\begin{cases}
0, s\le 0\\
-e^{-\theta t^6}\ \left|\frac{}{}\right|_{0}^{s},\; t>0
\end{cases}=
\begin{cases}
0, s\le 0\\
1-e^{-\theta s^6},\; t>0
\end{cases}}\)



c) Troche sie orientujesz Dla rozkladow ciaglych (dla dyskretnych jest inaczej), a takim wlasnie jest rozklad wykladniczy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\mbox{d}t=1\\
P(X\le a)=P(X < a)=\int\limits_{-\infty}^{a} f_X(t)\mbox{d}t=F_X(a)\\
P(X\ge a)=P(X > a)=\int\limits_{a}^{+\infty} f_X(t)\mbox{d}t=
t\limits_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\mbox{d}t-
t\limits_{-\infty}^{a} f_X(t)\mbox{d}t=
1-\int\limits_{-\infty}^{a} f_X(t)\mbox{d}t=
1-P(X}\)

[raisin]

Dziekuje bardzo! niestety w tych tematach moja wiedza jest tylko na poziomie " troche"
no ale od wczoraj ciezko pracuje by bylo lepiej . pozdrawiam!