Czy moge prosic o pomoc w rozwiazaniu lub wskazowki jak sie do tego zabrac? Z gory bardzo dziekuje!
Niech X bedzie skokowa zmienna losowa oraz g : \(\displaystyle{ R_{x}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest funkcja ciagla , ktora jest wypukla dla wszystkich \(\displaystyle{ {x}_{1}}\) \(\displaystyle{ {x}_{2}}\) \(\displaystyle{ \in \}\) \(\displaystyle{ R_{x}}\) i wszystkich\(\displaystyle{ \eta}\)\(\displaystyle{ \in \}\)( 0,1 ).
g(\(\displaystyle{ \eta {x}_{1} + (1-\eta) {x}_{2}) q \eta g({x}_{1}) + (1-\eta)g{x}_{2}}\).
a) Dla\(\displaystyle{ \eta q}\)0 oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {\eta}_i}\)= 1 pokaz, ze
g ( \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {\eta}_i}\) \(\displaystyle{ {x}_{i}}\)) \(\displaystyle{ \leq}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} {\eta}_i}\)g( \(\displaystyle{ {x}_{i}}\)).
( wskazowka : uzyj indukcji )
b) Pokaz, ze g(\(\displaystyle{ \mathbb{E}}\)(X)) \(\displaystyle{ \leq}\) \(\displaystyle{ \mathbb{E}}\)(g(X))