Rozkład Studenta

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadanka.
Korzystając z twierdzenia Fishera pokazać, że statystyka
\(\displaystyle{ T(X)= \frac{\overline{X}-m}{S} \sqrt{n-1}}\)
ma rozkład Studenta t(n-1).
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Wcale to nie jest prawda.

Raz, że wzór jest inny a dwa są pewne bardzo istotne załozenia kiedy taka statystyka ma rozkład studenta.

Zachodzi takie twierdzenie:

\(\displaystyle{ Z: X_1, \ldots, X_n \mbox{ - próba prosta z rozkładu} \mathcal{N}(m, \sigma^2)} \\ \\
T: \sqrt{n} \frac{\overline{X}-m}{S} t_{n-1}}\)


Dowód idzie praktycznie z definicji, podpowiem, że należy podzielić licznik i mianownik przez sigmę. Następnie spróbuj zauważyć w liczniku standardowy rozkład normalny a w mianowniku odpowiednio podzielony rozkład chi-kwadrat. Co z definicji daje nam rozkład studenta.
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Hmmmm... nadal nie wiem jak to pokazac:/

matematyka.pl/81278.htm?highlight=rozk%B3ad+studenta

W tym watku ktos mial cos podobnego i tam pisza, ze jednak jest to razklad studenta. Tylko jak to pokazac z tw. Fishera?
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Nie jest.


Twierdzenie Fishera nam tutaj służy do stwierdzenia, że statystyki \(\displaystyle{ \overline{X}, S^2}\) są niezależne.

Zacznijmy od definicji rozkładu studenta.

Gdy:

\(\displaystyle{ 1) X \mathca{N}(0,1)\\
2) Y \chi ^2_k\\
3) \mbox{X i Y niezależne}}\)


to:

\(\displaystyle{ \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}} t_{k}}\)

Przejdźmy teraz to dowodu:

\(\displaystyle{ \sqrt{n} \frac{\overline{X}-m}{S} =
\sqrt{n}\frac{\overline{X}-m}{\sigma}:
\sqrt{ \frac{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} {n-1} }}\)


a to jest właśnie dokładnie definicja rozkładu studenta, pierwszy ułamek to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym, a pod pierwiastkiem mamy iloraz zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat przez liczbę jej stopni swobody. A dodatkowo z tw. Fishera wiemy, że obie zmienne są niezależne co kończy dowód.
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Wszystko rozumiem, oprócz tego jaka role spełnia ten \(\displaystyle{ }\sqrt{n}}\) innymi słowy co za róznica czy tam bedzie \(\displaystyle{ }\sqrt{n}}\) czy \(\displaystyle{ }\sqrt{n-1}}\) czy jeszcze inny. W liczniku i tak mamy rozklad normalny a w mianowniku rozklad chi kwadrat.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Gdy pod pierwiastkiem będziesz miał n-1 to w jaki sposób w liczniku masz rozkład normalny: >

Pamiętaj, że odejmujemy wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \overline{X}}\) oraz dzielimy przez odchylenie standardowe także \(\displaystyle{ \overline{X}}\).
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Oto rozwiązanie:

Zmienna w liczniku musi mieć rozkład N(0,1) więc trzeba ja zestandaryzowac. Zmienna \(\displaystyle{ \overline{X}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m, \frac{ \sigma ^{2} }{n})}\) więc licznik i mianownik pomnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n} }{\sigma}}\). W liczniku mamy już wymaganą zmienną teraz zajmiemy sięmianownikiem. Mamy tam: \(\displaystyle{ \frac{S \sqrt{n} }{\sigma \sqrt{n-1} }}\), co po przekształceniu daje \(\displaystyle{ \frac{ \frac{S \sqrt{n} }{\sigma} }{ \sqrt{n-1} }}\) dalej, \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ \frac{S ^{2}n }{\sigma ^{2} } }{n-1} }}\). A to jest definicja rozkładu studenta.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Zauważ, że ja już dawno temu napisalem dowod tego twierdzenia. Tak z dumą piszesz teraz "oto rozwiązanie" jakbys chcial pokazać braki w mojej wiedzy a pokazujesz co najwyzej to, ze bezmyslnie i mechanicznie stosujesz przeksztalcenia na symbolach.


Widzisz już czym się różni Twój dowód od mojego? I jaki z tego wniosek?
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Może i bezmyślnie stosuje przekształcenia na symbolach ale właśne dzięki nim pokazałem, że jest to rozkład studenta, podczas gdy Ty od początku probujesz mi powiedzieć, że nie jest.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Jeśli naprawdę nie widzisz w tej chwili czemu raz jest \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) a raz \(\displaystyle{ \sqrt{n-1}}\) to nic nie pokazałeś.

No ale Ty jesteś zadowolony, dla mnie z kolei sie juz wszystko wyjaśniło więc uważam temat za zakończony.
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Dobra nie chce się kłócić, bo właściwie nie wiem o co Tobie chodzi. Faktem jest, że statystyka, którą napisałem na początku MA rozkład studenta z n-1 stopniami swobody.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

No dobrze, nie lubie niedopowiedzen wiec wyjaśnie. To czy napisana przez Ciebie statystyka ma rozkład studenta zależy od tego co rozumiemy przez statystykę S. Jeśli świadomie piszemy symbole to wtedy można łatwo poznac po obu dowodach, który faktycznie nas doprowadzi do rozkladu studenta przy określonym S.
FlyMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 cze 2008, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa

Rozkład Studenta

Post autor: FlyMan »

Teraz zauważyłem, że w Twoim dowodzie jest błąd (choć mogę się mylić). Jeżeli zmienna Y to zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z k stopniami swobody (tak jest napisane) to wzór powinien wyglądać następująco:\(\displaystyle{ \sqrt{k} \frac{\overline{X}-m}{S}}\)wtedy standaryzując \(\displaystyle{ \overline{X}}\) otrzymamy\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\overline{X}-m \sqrt{n} }{\sigma} }{ \frac{S \sqrt{n} }{\sigma \sqrt{k} } } }}\) zmienna w liczniku jak widać ma rozkład N(0,1) więc nie będę go już przepisywać. Przekształcając mianownik mamy\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ \frac{ S^{2}n }{\sigma ^{2} } }{k} }}\). Wiemy, że zmienna \(\displaystyle{ \frac{S ^{2}n }{\sigma ^{2} }}\) ma rozkład chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody, a k z mianownika to właśnie liczba stopni swobody czyli k=n-1. Podstawiając do pierwszego wzrou otrzymujemy dokładnie statystykę, o którą pytałem, czyli mamy dowód w drugą stronę.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład Studenta

Post autor: Emiel Regis »

Nie.

Tak jak już wcześniej pisałem co innego rozumiesz przez S. W tych materiałach, z którymi ja miałem do czynienia to standardowo przez \(\displaystyle{ S^2}\) oznacza się estymator nieobciążony wariancji tj.:

\(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n(X_i - \overline{X})^2}\)


I przy takim S faktem jest, że napisana przez Ciebie na początku statystyka nie ma rozkładu studenta.
ODPOWIEDZ