metoda największej wiarygodności

[qaz]

Czy może się zdarzyć w metodzie największej wiarygodności sytuacja, że znajdziemy jakiś estymator, dla którego warunek z maksimum nie będzie spełniony i co ewentualnie wtedy robic

[Emiel Regis]

Metoda ta polega na znalezieniu maksimum łącznej gęstości ze względu na estymowany parametr, czyli mnożysz gęstości brzegowe, potem dla wygody logarytmujesz, różniczkujesz i przyrównujesz do zera.
W którym kroku chcesz żeby coś się zepsuło: > Rozwiń swoje pytanie.

[qaz]

logarytmuję, różniczkuję i przyrównuję do zera, po czym wychodzi punkt stacjonarny w którym jest ekstremum typu minimum, a nie max. Może się tak zdarzyć

[Emiel Regis]

Przyznam, że trudno mi generalizować, masz może jakiś przykład?

[qaz]

Nie, nie mam. Tak się tylko hipotetycznie zastanawiam... Ale jakby wyszło to minimum, czy też brak ekstremum, to chyba trzebaby inną metodę zastosować do wyznaczenia, tak mi się wydaje ...

[Emiel Regis]

Trzeba by umieć coś szerzej powiedzieć o wypukłości funkcji wiarogodności, wtedy by można próbować nie sprawdzać warunku na to czy mamy max czy min. I kto wie czy coś takiego nie zachodzi.

Ogólnie w procesie estymacji chodzi o to, żeby znaleźć jak najlepszą wartość parametru, najbardziej prawdopodobną.
Najbardziej prawdopodobne są te wartości w okolicy, których znajduje się maksimum gęstości, i taka własnie jest idea, szukać maksimów tej funkcji. Często (np przy rozkładzie jednostajnym) może się zdarzyć, że z różnych względów tradycyjnym sposobem (tj przez policzenie pochodnej i przyrównanie jej do zera) nie da się tego zrobić (np funkcja jest nieróżniczkowalna albo jakiś indykator gdzieś się nam pląta).

Np rozwiąz sobie takie zadanie, mamy próbę prostą z rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{U}[0, \theta]}\).
Znaleźć metodą największej wiarogodności (wiarygodności) estymator parametru \(\displaystyle{ \theta}\).