metoda momentów - rozwiązanie układu równań

[qaz]

Mam rozkład gamma z nieznanymi obydwoma parametrami gęstości: \(\displaystyle{ p, \beta}\).
Należy wyznaczyć metodą momentów estymatory tych parametrów.

\(\displaystyle{ X_{sr}}\) = średnia
Mam więc:
\(\displaystyle{ \frac{p}{\beta}=X_{sr}}\), \(\displaystyle{ \frac{p(p+1)}{\beta ^2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2}\)
teraz trzeba z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).
moje pytanie, czy można zrobić to w sposób następujący:
Ponieważ dla rozkładu gamma wariancja jest równa:\(\displaystyle{ S^2=\frac{p}{\beta ^2}}\), więc jak pomnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\beta}}\), to otrzymamy:
\(\displaystyle{ S^2=\frac{X_{sr}}{\beta}}\), czyli \(\displaystyle{ \beta = \frac{X_{sr}}{S^2}}\).
Teraz znowu z pierwszego równania: \(\displaystyle{ p=X_{sr} \beta}\), a więc będzie \(\displaystyle{ p=\frac{X_{sr}^2}{S^2}}\).
dobrze
Wszystkie własności są stąd , dla: \(\displaystyle{ k=p, \quad \lambda = \beta}\)

[Emiel Regis]

Dobrze: )
Choć chyba da się trochę krócej; p
Np nie wiem czemu u Ciebie się pojawia drugi moment zwykły, nie jest on tutaj potrzebny.

Ja bym to tak zapisał (na Twoich oznaczeniach):

\(\displaystyle{ X \sim \Gamma(p, \beta)\\ \\
\begin{cases}
EX = \frac{p}{\beta}\\
Var(X)=\frac{p}{\beta_2}\\
\end{cases}}\)

Mamy rozwiązać ten układ ze względu na \(\displaystyle{ p, \beta}\), widać z jego postaci, że:

\(\displaystyle{ EX = \beta Var(X) => \beta = \frac{EX}{Var(X)}}\)

Teraz tylko wstawić to do pierwszego równania i gotowe. Wyniki takie same jak Twoje. Za wartość oczekiwaną i wariancję wstawiamy standardowe estymatory tych wielkości.

\(\displaystyle{ \hat{EX} = \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\\
\hat{Var(X)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}\)

[edit]
W ogóle to fajnie, że ktoś czyta jednak moje artykuły w kompendium; )

[qaz]

czytam bo dobre
I jeszcze pytanie: A dlaczego można wariancję brać w metodzie momentów bo u mnie nic nie pisało w algorytmie na temat wariancji. Pisało tylko, że się bierze momenty (najczęściej kolejne i najczęściej początkowe, a kiedy bierzemy nie kolejne i kiedy nie początkowe to też nie wiem, wiec również bym prosiła o oświecenie mnie). Bo szczerze mówiąc dopiero się zaczęłam uczyć tego i to tak na szybko ...
Pozdrawiam.

[Emiel Regis]

Metoda polega własnie na braniu jak sama nazwa wskazuje momentów, nie wiem czy wiesz ale wariancja także jest momentem (drugim centralnym). Także jak masz do wyestymowania n parametrów to bierzesz n momentów i rozwiązujesz układ n równań (wyliczasz z niego szukane parametry jako funkcje momentów, czyli musisz je tak wybrac aby układ dało się rozwiązać).

A w ogóle to metoda momentów jak chodzi o estymację nie jest najlepsza, znacznie lepsza jest np metoda największej wiarogodności.

Myślę, że już powinno być jasne, jeśli nie to pytaj.

[qaz]

... czyli musisz je tak wybrac aby układ dało się rozwiązać...

A kiedy może się nie udać rozwiązać? Jakoś ciężko mi to sobie wyobrazić ... Możesz jakiś przykład podać No i jeżeli już się nie uda czegoś wyznaczyć to trzeba po prostu zamiast tego jakiś inny moment wziąść, tak

[Emiel Regis]

W tej chwili żaden konkretny rozkład nie przychodzi mi na myśl jednak może się zdarzyć np tak, że w jakimś rozkładzie zależnym od dwóch parametrów wartość oczekiwana jest równa wariancji, wtedy już takiego układu nie rozwiążesz i musisz szukać innych momentów.

Tak.

[qaz]

już rozumiem, bardzo dziękuję!