Witam wszystkich, mam problem z rozwiązaniem następującego zadania: Niech \(\displaystyle{ x{1}}\),\(\displaystyle{ x{2}}\) ,...,\(\displaystyle{ x{n}}\) będzie realizacją próby prostej \(\displaystyle{ X{1}}\),\(\displaystyle{ X{2}}\) ,...,\(\displaystyle{ X{n}}\) z populacji o rozkładzie trzypunktowym:
P(X= -2)=p, P(X=0)=0,3, P(X=2)=0,7 - p. Znależć estymator parametru p metodą momentów i metodą największej wiarygodnośći. Wygenerować 50 obserwacji z powyższego rozkładu i porównać z wartościami estymatorów punktowych. Będę wdzięczna za pomoc:)
Estymator-dwie metody
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Estymator-dwie metody
Metodą momentów jest łatwo, wystarczy policzyć wartość oczekiwaną tej zm. los.
\(\displaystyle{ EX=-2\cdot p+0\cdot 0.3+ 2\cdot (0.7-p)=-4p+1.4}\)
Następnie przyrównać do średniej z próby:
\(\displaystyle{ -4p+1.4=\overline{x}\ \ \ \ \ \ p=\frac{1.4-\overline{x}}{4}}\)
Metodą NW jest chyba trochę trudniej, zrobiłbym to tak:
Niech k-oznacza liczbę (-2) w próbie, s - oznacza liczbę (0), a n-k-s - oznacza liczbę (2), wtedy funkcja wiarygodności jest postaci:
\(\displaystyle{ L(X,p)=p^k0.3^s(0.7-p)^{n-k-s}}\)
\(\displaystyle{ ln(L(X,p))=klnp+sln0.3+(n-k-s)ln(0.7-p)}\)
\(\displaystyle{ ln(L(X,p))'=\frac{k}{p}-\frac{n-k-s}{0.7-p}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{p}-\frac{n-k-s}{0.7-p}=0\ \ \ \ \ \ p=\frac{0.7k}{n-s}}\)
Symulacja:
Losuję próbę z rozkładu o p=0.2.
\(\displaystyle{ X=\{ 2 , -2, 2, 2 , 0 , -2 , -2, -2 , -2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , -2, 2 , 2, 2, 2 , 0, -2 , 2 , 0, 2 , 2 , 0 , 2 , 2 , 0, 2, 2, 0, -2, 2, -2 , -2 , 0, 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2\}}\)
\(\displaystyle{ pnw=0.1944\\
pmm=0.1900}\)
Te wartości teraz wyszły bliskie p ale może się zdarzyć, że dostanie nam sie próba, gdzie one sie będą dużo różnić od wartości prawdziwej. Można przeprowadzić 100 takich symulacji i policzyć wtedy średnią i wariancję z tych pnw i pmm. Będzie widać, że średnio dobrze przybliżaja p.
100 symulacji
\(\displaystyle{ Epnw=0.2002\\
D^2pnw=0.0019\\
Epmm=0.2010\\
D^2pmm=0.0020}\)
\(\displaystyle{ EX=-2\cdot p+0\cdot 0.3+ 2\cdot (0.7-p)=-4p+1.4}\)
Następnie przyrównać do średniej z próby:
\(\displaystyle{ -4p+1.4=\overline{x}\ \ \ \ \ \ p=\frac{1.4-\overline{x}}{4}}\)
Metodą NW jest chyba trochę trudniej, zrobiłbym to tak:
Niech k-oznacza liczbę (-2) w próbie, s - oznacza liczbę (0), a n-k-s - oznacza liczbę (2), wtedy funkcja wiarygodności jest postaci:
\(\displaystyle{ L(X,p)=p^k0.3^s(0.7-p)^{n-k-s}}\)
\(\displaystyle{ ln(L(X,p))=klnp+sln0.3+(n-k-s)ln(0.7-p)}\)
\(\displaystyle{ ln(L(X,p))'=\frac{k}{p}-\frac{n-k-s}{0.7-p}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{p}-\frac{n-k-s}{0.7-p}=0\ \ \ \ \ \ p=\frac{0.7k}{n-s}}\)
Symulacja:
Losuję próbę z rozkładu o p=0.2.
\(\displaystyle{ X=\{ 2 , -2, 2, 2 , 0 , -2 , -2, -2 , -2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , -2, 2 , 2, 2, 2 , 0, -2 , 2 , 0, 2 , 2 , 0 , 2 , 2 , 0, 2, 2, 0, -2, 2, -2 , -2 , 0, 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2\}}\)
\(\displaystyle{ pnw=0.1944\\
pmm=0.1900}\)
Te wartości teraz wyszły bliskie p ale może się zdarzyć, że dostanie nam sie próba, gdzie one sie będą dużo różnić od wartości prawdziwej. Można przeprowadzić 100 takich symulacji i policzyć wtedy średnią i wariancję z tych pnw i pmm. Będzie widać, że średnio dobrze przybliżaja p.
100 symulacji
\(\displaystyle{ Epnw=0.2002\\
D^2pnw=0.0019\\
Epmm=0.2010\\
D^2pmm=0.0020}\)