Do następujących dwóch zadań mam dwie prośby. Pierwsza to oczywiście pomoc w rozwiązaniu, chociaż przyznam, że na statystyce się nie znam (zostałem poproszony o pomoc z tymi zadaniami), więc raczej prosiłbym o pełne rozwiązanie. Druga prośba. Mimo, że się nie znam to jednak intuicja podpowiada mi, że są to bardzo ciężkie zadania, więc jeśli ich rozwiązanie byłoby zbyt pracochłonne, to prosiłbym przynajmniej o przetłumaczenie ich na angielski... nie czytałem nigdy anglojęzycznych publikacji statystycznych i nie znam odpowiedniego słownictwa. Ok, do rzeczy.
Zadanie 1. Niech \(\displaystyle{ \mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)'}\) będzie próbą z rozkładu\(\displaystyle{ P}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ m}\) i wariancją \(\displaystyle{ \sigma^2}\). Załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) ma drugą pochodną \(\displaystyle{ h''}\), ciągłą w punkcie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ h''(m)=0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{n}[h(\bar{X})-h(m)]\to^{P1}0}\), podczas gdy zmienna losowa \(\displaystyle{ n[h(\bar{X})-h(m)]}\) ma asymptotyczny rozkład taki jak \(\displaystyle{ h''(m)\sigma^2X/2}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ \chi^2(1)}\).
Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ f_{k:n}}\) oznacza gęstość rozkładu statystyki pozycyjnej \(\displaystyle{ X_{k:n}}\) z próby \(\displaystyle{ \mathbf{X}_n}\) z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f}\) względem miary Lebesgue'a, symetrycznego względem punktu \(\displaystyle{ m}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f_{k:n}(m+x)=f_{n-k+1:n}(m-x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Uogólnić ten wynik dla łącznych rozkładów statystyk pozycyjnych.