Przedziały ufności, estymacja, testowanie hipotez

[budynek]

Dzień dobry! Wiele razy korzystałem z Waszego forum, jednak dopiero teraz zdecydowałem się napisać, ponieważ problem nieco mnie przerasta. Chciałbym prosić o sprawdzenie zrobionych zadań ze statystyki i (jeśli ktoś miałby chwilkę o zrobienie trzech zadań - bardzo by mi to objaśniło temat). Niestety książki które wypożyczyłem nie obejmują w całości tematyką tych cztereh zadań więc próbuję je robić "na czuja". Bardzo proszę o sprawdzenie toku rozwiązywania.

ZADANIE 1
Zmienna losowa X ma gętsość f(x) taką, że

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, x3 \end{cases}}\)

Znajdź:
a) stałą normalizacyjną C
moje pytanie: czy stałą normalizacyjną C znajduje się przyrównując scałkowaną funkcję gęstości f(x) do jedynki ?
Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ C* t_{1}^{3}1/x dx = C * ft( ln\left(3\right) - ln\left(1\right)\right) = C*ln\left(3\right) C*1,0986122}\)

więc

\(\displaystyle{ C=1/1,0986122 0,910239}\)


b) dystrybuantę F(X)
moje pytanie: jak wyznaczyć dystrybuantę gdy podany jest przedział [1,3]. Czy można wyznaczyć dystrybuantę F(X) dla całego przedziału (poprostu scałkować f. gęstości) i później zawęzić przedział wyniku (czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ F(X) = ln\left(x\right)}\) do przedziału [1,3]) ?

c) gęstość dla zmiennej losowej Y = 1/X
moje pytanie:

Poprawnie jest tak:
\(\displaystyle{ F'(Y)=-1/x^2 = f(y)}\) gdzie f(y) to gęstość zmiennej losowej Y ?

Czy raczej tak:
\(\displaystyle{ F'(Y)=F'(1/x)=F'(X/C)=1/C=f(y)}\)


d)wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(Y)}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = E(1/X) = ???}\)
moje pytanie: z jakiej własności wartości przeciętnej można byłoby skorzystać?

--------------------------------------------------------------

ZADANIE 2
Zakładając, że próba prosta złożona z n=5 elementów (0.9,1.6,1.0,1.1,0.7) pochodzi z rozkładu normalnego, znaleźć przedziały ufności dla E(X), var(X), i odchylenieSTD(X) na poziomie ufności alfa=0,8

moje pytanie: Jak to zrobić? Od czego zacząć?


ZADANIE 3
Wykonano n=5 bezpośrednnich pomiarów wielkości X i wielkości Y. Otrzymano następujące wyniki (wartości X i Y znajdujące się nad sobą to jedna para wartości):
xi = 1.5, 1.0, 0.4, 1.2, 1.1
yi = 1.4, 1.0, 0.5, 1.4, 2.1

a) Oszacować punktowo E(X), E(Y), var(X), var(Y), cov(X,Y)
b) Znaleźć estymatory wartości oczekiwanej, odchylenia std., i kowariancji dla zmiennych \(\displaystyle{ Z=X+2*Y}\) oraz \(\displaystyle{ T=x^2+Y}\), wypisać jawnie ich macierz kowariancji, przy czym rozwiązć to dwoma sposobami: stosując wzór na przenoszenie błędów, licząc dla każdej pary (X,Y) odpowiednią parę (Z,T) i stosując wzory na estymatory wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji dla zmiennych (Z,T)

ZADANIE 4
Zakładając, że próba prosta złożona z n=5 elementów (10,21,15,19,26) pochodzi z rozkładu normalnego, sparwdzić na poziomie istotności alfa=0.01 hipotezę H0: var(X)=2 względem odpowiedniej jednostronnej hipotezy alternatywnej. Uzasadnić wybór hipotezy alternatywnej.[/b]

[Emiel Regis]

ad. a)
dobrze rozumujesz, natomiast ja bym nie wprowadzał przybliżonej wartości logarytmu.

ad. b)
Dla rozkładów absolutnie ciągłych dystrybuanta jest zdefiniowana jako:
\(\displaystyle{ F(x) = t_{- }^{x}f(x)dx}\)
U nas jak widać po gęstości nośnikiem rozkładu jest przedział [1,3], czyli dystrybuanta na lewo od 1 będzie na pewno równa zero, natomiast na prawo od 3 równa jeden (możesz to sprawdzić rachunkowo). Sumarycznie mozemy napisać:
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0, x3 \end{cases}}\)

ad. c)
\(\displaystyle{ Y = \frac{1}{X}\\ X \in [1,3] => Y [\frac{1}{3},1]}\)
Dla \(\displaystyle{ y [\frac{1}{3},1]}\):
\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y qslant y)=P(\frac{1}{X} qslant y)=P(\frac{1}{y} qslant X})=1-F_X(\frac{1}{y})}\)
Różniczkuję stronami i otrzymuję
\(\displaystyle{ f_Y(y)=-f_X(\frac{1}{y})\cdot(-\frac{1}{y^2})=\frac{1}{ln3y}}\)

Sumarycznie można to zapisac:
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\frac{1}{ln3y}\cdot 1_{[\frac{1}{3},1]}(y)}\)

A wartość oczekiwana standardowo...

[budynek]

Dzięki! Bardzo pomogłeś. Dzięki!

Jeśli ktoś z Was byłby jeszcze łaskaw zerknąć na te pozostałe zadania 2,3,4 to byłoby wspaniale.