dwuwymiarowa zmienna losowa

[gabrielle5]

prosze o pomoc w rozwiazaniu zadnia, jak powinnam to liczyc?


W 10-cio elementowej partii towaru sa dwie sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech
zmienna losowa X przyjmuje wartosci równe liczbie sztuk wadliwych wsród 2 wylosowanych sztuk, Y zas
przyjmuje wartosc 1, jesli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz 0, jesli nie jest wadliwa.
a) Wyznaczyc rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).
b) Zbadac, czy zmienne losowe X i Y sa niezalene.
c) Obliczyc E( X |Y =1) oraz V ( X |Y =1) .
d) Obliczyc P( X +Y = 2) oraz E(X + Y) .

[Janek Kos]

Rozwiązanie:

a)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c}
\hline
Y$\backslash$X & 0 & 1 & 2 & p_i\\
\hline
0 & $\frac{28}{45}$ & $\frac{8}{45}$ & 0 & $\frac{36}{45}$\\
\hline
1 & 0 & $\frac{8}{45}$ & $\frac{1}{45} & $\frac{9}{45}\\
\hline
q_j& $\frac{28}{45}$ & $\frac{16}{45}$ & $\frac{1}{45}$ & 1\\
\end{tabular}}\)

b)

Nie są. Na to aby były niezależne, dla każdego (i,j) musi zachodzić \(\displaystyle{ p_{i,j}=p_i\cdot q_j}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ p_{2,1}=0 \frac{28}{45}\cdot \frac{9}{45}=p_2\cdot q_1}\)

c)

\(\displaystyle{ E(X|Y=1)=\frac{1}{\frac{9}{45}}\cdot \bigg(0\cdot 0+1\cdot \frac{8}{45}+2\cdot \frac{1}{45}\bigg)=\frac{45}{9}\cdot \frac{10}{45}=\frac{10}{9}}\)

\(\displaystyle{ V(X|Y=1)=E(X^2|Y=1)-(E(X|Y=1))^2=\frac{45}{9}\cdot\bigg(0\cdot 0+1\cdot \frac{8}{45}+4\cdot \frac{1}{45}\bigg)-\bigg(\frac{10}{9}\bigg)^2=...}\)
d)

\(\displaystyle{ P(X+Y=2)=P(Y=0,X=2)+P(Y=1,X=1)=0+\frac{8}{45}=\frac{8}{45}}\)

Aby policzyć \(\displaystyle{ E(X+Y)}\) napiszmy rozkład zmiennej los. \(\displaystyle{ X+Y}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
P(X+Y=k) & $\frac{28}{45}$ & $\frac{8}{45}$ & $\frac{8}{45}$ & $\frac{1}{45}$ \\
\hline
\end{tabular}}\)

Stąd \(\displaystyle{ E(X+Y)=0\cdot\frac{28}{45}+1\cdot \frac{8}{45}+2\cdot \frac{8}{45}+3\cdot \frac{1}{45}=\frac{27}{45}}\)