Strzelec i jego strzały ;p

[Grundi]

Strzelec oddaje 4 strzały do celu. Prawdopodobieństwo trafienia za każdym razem jest równe 3/4. Wyznacz rozkłąd oraz wartość oczekiwaną liczby trafień.

[Janek Kos]

W celu wyznaczenia rozkładu, można skorzystać ze schematu Bernoulliego.

\(\displaystyle{ P(X=k)= p^k(1-p)^{n-k}}\)

gdzie n-liczba prób, k-ilość sukcesów, p-prawdopodobieństwo sukcesu.

Wobec tego mamy:

\(\displaystyle{ p_0=(\frac{1}{4})^4=\frac{1}{256},\ \ \ p_1=4\cdot (\frac{3}{4})^1\cdot(\frac{1}{4})^3=\frac{12}{256},\ \ \ p_2=6\cdot (\frac{3}{4})^2\cdot(\frac{1}{4})^2=\frac{54}{256},\\
p_3=4\cdot (\frac{3}{4})^3\cdot(\frac{1}{4})^1=\frac{108}{256},\ \ \
p_4=(\frac{3}{4})^4=\frac{81}{256}}\)

Więc rozkład liczby trafień do celu ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=k) & $\frac{1}{256}$ & $\frac{12}{256}$ & $\frac{54}{256}$ & $\frac{108}{256}$ & $\frac{81}{256}$ \\ \hline \end{tabular}}\)

Wartość oczekiwaną liczby trafień wyznaczysz ze wzoru:

\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{4}k\cdot P(X=k)}\)