Wykonano 100 serii niezależnych doświadczeń. W każdej serii przeciętna liczba sukcesów wyniosła 2, a wariancja 1,4. Znaleźć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa, że w tych 100 seriach doświadczeń liczba sukcesów będzie zawarta między 186 a 214.
Jak?
Nierówność Czebyszewa
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Nierówność Czebyszewa
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ X_i\ -\ \text{zmienna losowa opisujaca liczbe sukcesow w jednej i-tej serii}\\
EX_i=2\ -\ \text{przecietna liczba sukcesow w serii}\\
D^2X_i\ -\ \text{wariancja liczby sukcesow w serii}\\
Y= \sum_{i=1}^{100}X_i \ -\ \text{zmienna losowa opisujaca liczbe sukcesow w calym dswiadczeniu}}\)
Wtedy :
\(\displaystyle{ EY=E\sum_{i=1}^{100}X_i=\sum_{i=1}^{100}EX_i=200\\
D^2Y=D^2\sum_{i=1}^{100}X_i=\sum_{i=1}^{100}D^2X_i=140}\)
Nierówność Czebyszewa:
\(\displaystyle{ P\big(|Y-EY|q 1-\frac{D^2Y}{\epsilon^2}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ P\big(Y\in (186;214)\big)=P\big(|Y-200|}\)
\(\displaystyle{ X_i\ -\ \text{zmienna losowa opisujaca liczbe sukcesow w jednej i-tej serii}\\
EX_i=2\ -\ \text{przecietna liczba sukcesow w serii}\\
D^2X_i\ -\ \text{wariancja liczby sukcesow w serii}\\
Y= \sum_{i=1}^{100}X_i \ -\ \text{zmienna losowa opisujaca liczbe sukcesow w calym dswiadczeniu}}\)
Wtedy :
\(\displaystyle{ EY=E\sum_{i=1}^{100}X_i=\sum_{i=1}^{100}EX_i=200\\
D^2Y=D^2\sum_{i=1}^{100}X_i=\sum_{i=1}^{100}D^2X_i=140}\)
Nierówność Czebyszewa:
\(\displaystyle{ P\big(|Y-EY|q 1-\frac{D^2Y}{\epsilon^2}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ P\big(Y\in (186;214)\big)=P\big(|Y-200|}\)