Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p=1/2. Wyznaczyc rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej\(\displaystyle{ Y=sin \frac{\pi X}{2} - 1}\).
Prosze o pomoc bo nie mam pojecia jak to zrobic. Z góry dziekuje.
Wyznacz rozklad i dystrybuante zm. losowej
-
Majkel88
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 sty 2008, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Wyznacz rozklad i dystrybuante zm. losowej
Dla rozkladu geometrycznego:
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p) ^{k-1}p}\)
dla p = 1/2:
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1/2) ^{k}}\)
Dystrubuanta wyraza sie wzorem dla rozkladow dyskretnych:
\(\displaystyle{ F _{X}(x)= \sum_{x _{i} S _{X} _{i} \frac{1-(1/2) ^{x} }{1-1/2}=1-(1/2) ^{x}}\)
Tyle wiem .
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p) ^{k-1}p}\)
dla p = 1/2:
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1/2) ^{k}}\)
Dystrubuanta wyraza sie wzorem dla rozkladow dyskretnych:
\(\displaystyle{ F _{X}(x)= \sum_{x _{i} S _{X} _{i} \frac{1-(1/2) ^{x} }{1-1/2}=1-(1/2) ^{x}}\)
Tyle wiem .
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Wyznacz rozklad i dystrybuante zm. losowej
kuch2r, chyba trochę zbyt mechanicznie tutaj wykonujesz rachunki. Jak uzasadnisz równość \(\displaystyle{ arcsin(sinx)=x}\)?
Z kolei po prawej stronie masz \(\displaystyle{ arcsin(x+1)}\), ile to będzie równe np dla x=10?
Z kolei po prawej stronie masz \(\displaystyle{ arcsin(x+1)}\), ile to będzie równe np dla x=10?
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
Wyznacz rozklad i dystrybuante zm. losowej
Rozwiązywałbym to tak:
Z postaci zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) wynika, że będzie ona przyjmowała tylko trzy wartości i tak:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 0\ \ \ na\ zbiorze\ A=\{1,5,9,...\} \\ -1\ \ \ na\ zbiorze\ B=\{2,4,6,...\} \\ -2\ \ \ na\ zbiorze\ C=\{3,7,11,...\} \end{cases}}\)
Pozostaje policzyć prawdopodobieństwa tych zbiorów:
\(\displaystyle{ P(A)=P(k\in A)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{(4k-3)-1}p=\\=p\sum_{k=0}^{\infty}\big[(1-p)^4\big]^k=\frac{p}{1-(1-p)^4}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{8}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(k\in B)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{2k-1}p=\frac{p}{1-p} \sum_{k=1}^{\infty}\big[(1-p)^2\big]^k=\\=\frac{p(1-p)}{1-(1-p)^2}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=P(k\in C)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{(4k-1)-1}p=\frac{p}{(1-p)^2} \sum_{k=1}^{\infty}\big[(1-p)^4\big]^k=\\=\frac{p(1-p)^2}{1-(1-p)^4}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{2}{15}}\)
Dostaję rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), który jest postaci:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ z\ p=\frac{8}{15} \\ -1\ \ \ z\ p=\frac{1}{3} \\ -2\ \ \ z\ p=\frac{2}{15} \end{cases}}\)
Napisanie dystrybuanty nie stwarza problemu.
Z postaci zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) wynika, że będzie ona przyjmowała tylko trzy wartości i tak:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 0\ \ \ na\ zbiorze\ A=\{1,5,9,...\} \\ -1\ \ \ na\ zbiorze\ B=\{2,4,6,...\} \\ -2\ \ \ na\ zbiorze\ C=\{3,7,11,...\} \end{cases}}\)
Pozostaje policzyć prawdopodobieństwa tych zbiorów:
\(\displaystyle{ P(A)=P(k\in A)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{(4k-3)-1}p=\\=p\sum_{k=0}^{\infty}\big[(1-p)^4\big]^k=\frac{p}{1-(1-p)^4}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{8}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(k\in B)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{2k-1}p=\frac{p}{1-p} \sum_{k=1}^{\infty}\big[(1-p)^2\big]^k=\\=\frac{p(1-p)}{1-(1-p)^2}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=P(k\in C)= \sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{(4k-1)-1}p=\frac{p}{(1-p)^2} \sum_{k=1}^{\infty}\big[(1-p)^4\big]^k=\\=\frac{p(1-p)^2}{1-(1-p)^4}\overset{p=\frac{1}{2}}{=}\frac{2}{15}}\)
Dostaję rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), który jest postaci:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ z\ p=\frac{8}{15} \\ -1\ \ \ z\ p=\frac{1}{3} \\ -2\ \ \ z\ p=\frac{2}{15} \end{cases}}\)
Napisanie dystrybuanty nie stwarza problemu.