Wartość oczekiwana i wariancja rozkładów

[tangerine_87]

Wyliczyć ( wyprowadzić wzory) na wartość oczekiwaną i wariancję:
1) rozkładu normalnego
2) rozkładu średniej i różnicy średnich
3) rozkładu t-studenta
4) rozkładu chi-kwadrat
5) rozkładu F-Snedecora
6) rozkładu Bernoulliego

Jak dojść do takich wyników?

2)\(\displaystyle{ E(\overline{X}) = m}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(\overline{X})= \frac{\sigma^{2}}{n}}\)

3) \(\displaystyle{ E(t) = 0}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(t)= \frac{v}{v-2}}\)

4) \(\displaystyle{ E(\chi^{2}}) = n-1}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(\chi^{2})= 2(n-1)}\)

\(\displaystyle{ E(s^{2}}) = \sigma^2}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(s^{2})= \frac{2\sigma^{4}}{n-1}}\)

5) \(\displaystyle{ E(F) = \frac{ v_{2} }{ v_{2} -2 }}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(F)= \frac{2 v^{2}_{2}(v_{1}+v_{2} - 2 )}{v_1(v_{2}-2)^2(v_{2} - 4)}}\)

6) \(\displaystyle{ E(\omega)=p}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(\omega)= \frac{p(p-1)}{n}}\)

[Emiel Regis]

Jest tu trochę liczenia dlatego może poszukaj w książkach odpowiednich zadań.
Dla zachęty zrobię Ci (najprostsze) ostatnie zadanie ; )

\(\displaystyle{ X\sim B(1,p) \\ EX=\sum_iP(X=x_i)x_i=1\cdot p + 0 (1-p)=p\\
Var(X)=E(X-EX)^2=EX^2-E^2X=1\cdot p + 0 (1-p)-p^2=p(1-p)}\)
Nie wiem skąd wzięłaś swój wynik wariancji ale jest on błędny.

[Linka87]

To prosto z mojego zeszytu od rachunku:

Rozkład dwumianowy \(\displaystyle{ B(n,p)}\)

wartość oczekiwana:

\(\displaystyle{ EX = \sum_{x=0}^{n} x {n \choose x} p^{x} (1-p)^{n-x} = p \sum_{x=1}^{n} \frac{n!}{(x-1)!x(n-x)!} p^{x-1} (1-p)^{n-x} = \\ = np \sum_{x=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(x-1)!((n-1)-(x-1))!}p^{x-1}(1-p)^{n-x}= \\ = np \sum_{x-1=0}^{n} {n-1 \choose x-1}p^{x-1}(1-p)^{n-x} = np 1 = np}\)

\(\displaystyle{ EX^{2} = \sum_{x=0}^{n} x^{2} {n \choose x} p^{x} (1-p)^{n-x} = np \sum_{x-1=0}^{n} x {n-1 \choose x-1}p^{x-1}(1-p)^{n-x} = \\ = np \sum_{x-1=0}^{n} 1 {n-1 \choose x-1}p^{x-1}(1-p)^{n-x} + np \sum_{x-1=1}^{n} (x-1){n-1 \choose x-1}p^{x-1}(1-p)^{n-x} = \\ = np + np(n-1)p \sum_{x-2=0}^{n} \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!} p^{x-2}(1-p)^{n-x} = \\ = np + np^{2}(n-1) \sum_{x-2=0}^{n} {n-2 \choose x-2}p^{x-2}(1-p)^{n-x} = np+n^{2}p^{2} - np^{2} = \\ = n^{2}p^{2} + np(1-p) = n^{2}p^{2} + np(1-p)
\\ \\
D^{2}X = EX^{2} - (EX)^{2} = n^{2}p^{2} + np(1-p) - (np)^2 = np(1-p)}\)

[BlackRose]

Witam,

Mam pytanie dotyczące rozkładu dwumianowego, ale jako że temat już się pojawił, nie zakładam nowego wątku.

Nie rozumiem dlaczego
\(\displaystyle{ \sum_{x-1=0}^{n} {n-1 \choose x-1} p^{x-1}(1-p)^{n-x}=1}\)

i dlaczego wcześniej w obliczeniach wartości oczekiwanej n i p można wyłączyć przed znak sumy.

Pozdrawiam