Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie
maturalnej (ocenionego w sześciostopniowej skali ocen).
Dziewczęta Chłopcy
liczba osób 11 14
średnia ocen 4,0 3,8
odchylenie standardowe 1,1 1,8
Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy.
Wyniki podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku.
odchylenie
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
odchylenie
1) Średnia:
Wprowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ \overline{x}_d=\frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11}x_i^d=4.0\ \ \ srednia\ wsrod\ dziewczat\ \ \ =>\ \ \ \sum_{i=1}^{11}x_i^d=44}\)
\(\displaystyle{ \overline{x}_{ch}=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14}x_i^{ch}=3.8\ \ \ srednia\ wsrod\ chlopcow\ \ \ =>\ \ \ \sum_{i=1}^{14}x_i^{ch}= 53.2}\)
\(\displaystyle{ \overline{x}_{k}\ \ \ srednia\ w\ calej\ klasie}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{x}_{k}=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}x_i^{k}=\frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}x_i^{d}+ \sum_{i=1}^{14}x_i^d\bigg)=\frac{1}{25}(44+53.2)=3.89}\)
2) Odchylenie:
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ s_d^2=\frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_d)^2=1.21\ \ \ wariancja\ wsrod\ dziewczat}\)
\(\displaystyle{ s_{ch}^2=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-\overline{x}_{ch})^2=3.24\ \ \ wariancja\ wsrod\ chlopcow}\)
\(\displaystyle{ s_{k}^2=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}(x_i^{k}-\overline{x}_{k})^2=?\ \ \ wariancja\ w\ klasie}\)
\(\displaystyle{ s_{k}^2=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}(x_i^{k}-\overline{x}_{k})^2=\frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_{k})^2+ \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-\overline{x}_{k})^2\bigg)=\\= \frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2+ \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-3.89)^2\bigg)=(*)}\)
Żeby policzyć tę wariancję musimy policzyć składowe sumy ostatniego nawiasu:
\(\displaystyle{ 1.21 11=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_d)^2=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-4)^2=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89-0.11)^2=\\=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2-2 \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89) 0.11+\sum_{i=1}^{11} 0.11^2}\)
Stąd dostajemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2=13.31+0.11 2\cdot (44-11\cdot 3.89)-11\cdot 0.11^2=\\=13.31+0.27-0.13=13.45}\)
Identycznie liczy się to dla chłopców. Oba policzone wyniki wstawiamy do wzoru i dostajemy wariancję. Po spierwiastkowaniu, dostajemy odchylenie standardowe.
Wprowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ \overline{x}_d=\frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11}x_i^d=4.0\ \ \ srednia\ wsrod\ dziewczat\ \ \ =>\ \ \ \sum_{i=1}^{11}x_i^d=44}\)
\(\displaystyle{ \overline{x}_{ch}=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14}x_i^{ch}=3.8\ \ \ srednia\ wsrod\ chlopcow\ \ \ =>\ \ \ \sum_{i=1}^{14}x_i^{ch}= 53.2}\)
\(\displaystyle{ \overline{x}_{k}\ \ \ srednia\ w\ calej\ klasie}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \overline{x}_{k}=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}x_i^{k}=\frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}x_i^{d}+ \sum_{i=1}^{14}x_i^d\bigg)=\frac{1}{25}(44+53.2)=3.89}\)
2) Odchylenie:
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ s_d^2=\frac{1}{11} \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_d)^2=1.21\ \ \ wariancja\ wsrod\ dziewczat}\)
\(\displaystyle{ s_{ch}^2=\frac{1}{14} \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-\overline{x}_{ch})^2=3.24\ \ \ wariancja\ wsrod\ chlopcow}\)
\(\displaystyle{ s_{k}^2=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}(x_i^{k}-\overline{x}_{k})^2=?\ \ \ wariancja\ w\ klasie}\)
\(\displaystyle{ s_{k}^2=\frac{1}{25} \sum_{i=1}^{25}(x_i^{k}-\overline{x}_{k})^2=\frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_{k})^2+ \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-\overline{x}_{k})^2\bigg)=\\= \frac{1}{25}\bigg( \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2+ \sum_{i=1}^{14}(x_i^{ch}-3.89)^2\bigg)=(*)}\)
Żeby policzyć tę wariancję musimy policzyć składowe sumy ostatniego nawiasu:
\(\displaystyle{ 1.21 11=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-\overline{x}_d)^2=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-4)^2=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89-0.11)^2=\\=\sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2-2 \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89) 0.11+\sum_{i=1}^{11} 0.11^2}\)
Stąd dostajemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{11}(x_i^d-3.89)^2=13.31+0.11 2\cdot (44-11\cdot 3.89)-11\cdot 0.11^2=\\=13.31+0.27-0.13=13.45}\)
Identycznie liczy się to dla chłopców. Oba policzone wyniki wstawiamy do wzoru i dostajemy wariancję. Po spierwiastkowaniu, dostajemy odchylenie standardowe.