Zadanko z kulkami, nierówność Czybyszewa i Tw. graniczne ;]

[Madlen_]

Mam do rozwiązania takei zadanie, i nie wiem jak się za nie zabrać :/

5 Mamy 3 urny z kulami typu I o składzie: 1 biała, 9 czarnych i 7 urn typu II o składzie: 3 białe, 7 czarnych. Losowano 500 razy po jednej kuli ze zwrotem. Z jakim co najmniej prawdopodobieństwem można twierdzić, że liczba białych kul będzie zawarta w przedziale [100, 140], korzystając z 10 nierówności Czebyszewa, 20 twierdzenia Moivre’a-Laplace’a.

Jakieś pomysły??

[Janek Kos]

W pierwszym kroku należy policzyć prawdopodobieństwo wylosowania białej w pojedynczym losowaniu.
\(\displaystyle{ P(I)=0.3\ \ \ p-stwo\ wylosowania\ pierwszej\ urny}\)
\(\displaystyle{ P(II)=0.7\ \ \ p-stwo\ wylosowania\ drugiej\ urny}\)
\(\displaystyle{ P(B)=?\ \ \ p-stwo\ wylosowania\ bialej}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(B|I)P(I)+P(B|II)P(II)=0.1 \cdot 0.3+0.3 \cdot 0.7=0.24}\)
Liczba wylosowanych białych kul, oznaczmy \(\displaystyle{ S_{500}}\) będzie zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego z parametrem \(\displaystyle{ p=0.24}\).
\(\displaystyle{ E[S_{500}]=500 \cdot 0.24=120\ \ \ a\ \ \ Var[S_{500}]=500 \cdot 0.24 \cdot 0.76=91.2}\)
Mamy oszacować dwiema metodami \(\displaystyle{ P\big(S_{500} \in (100,140)\big)}\)
Nierówność Czebyszewa:
\(\displaystyle{ P\big(|X-EX| \geqslant \epsilon\big) \leqslant \frac{Var[X]}{\epsilon^2}\ \ \ =>\ \ \ P\big(|X-EX|< \epsilon\big) qslant 1- \frac{Var[X]}{\epsilon^2}}\)
W tym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ P\big(S_{500} (100,140)\big)=P\big(|S_{500}-120| < 20\big) qslant 1-\frac{91.2}{400}=0.772}\)
Zatem szukane prawdopodobieństwo jest nie mniejsze niż 0.772.
Korzystając z twierdzenia Moivre’a-Laplace’a:
\(\displaystyle{ S_{500} N(120, 91.2)}\)
\(\displaystyle{ P(100}\)