Rozkład wykładniczy

[dago_6]

Witam, mam problem z takim zadaniem a dokladnie z jego ostatnim podpunktem, zadanie brzmi tak:
zad. Czas oczekiwania na obsluge w pewnym okienku kasowym ma rozklad wykladniczy z wartoscia oczekiwana 20 min.

c)Jaki bedzie przecietny czas oczekiwania i jakie odchylenie standardowe dla zmiennej losowej opisującej laczny czas oczekiwania na obsluge 16 losowo wybranych klientow?

\(\displaystyle{ E(x)=20}\), więc \(\displaystyle{ \lambda=0,05}\)
zapisalem funkcje gestosci, dystrybuante i oszacowalem poszczegolne prawdopodobienstwo o co pytano mnie wczesniej w zadaniu ale nie mam pojecia jak zrobic ten podpunkt, prosze o pomoc i z gory dziekuje

[Madlen_]

Wydaje mi się że musisz skorzystać z Twierdzenia granicznego Linberga- Levy'ego,
wówczas skorzystasz z tego, że Y~N(n*E(X); odchylenie standardowe* pierwiastek z n)
gdzie :
n- ilość (16)
Y- suma niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie

[dago_6]

hmm...tyle, ze to powinno sie zrobic bez twierdzenia granicznego bo zadanie jest z listy, ktora nie obejmuje jeszcze tego materialu

[Janek Kos]

A nie wystarczy skorzystać z faktu, że wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych jest sumą wartości oczekiwanych oraz wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest sumą wariancji?

[dago_6]

no wlasnie ja nie bardzo rozumiem to pytanie: przecietny czas dla zmiennej opisujacej laczny czas oczekiwania dla 16 osob, no to faktycznie tak jakby 16 i 20 pomnozyc, ale to jakies bezsensowne troche

[Janek Kos]

Jeśli czasy oczekiwania na obsługę, każdej z osób, są niezależnymi zmiennymi losowymi \(\displaystyle{ X}\) o tym samym rozkładzie wykładniczym, to jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ Y}\) zmienną losową opisującą łączny czas oczekiwania dla 16 osób, będzie się ona wyrażała wzorem:
\(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+...+X_{16}}\). Zatem, jak już pisałem wcześniej:
\(\displaystyle{ E[Y]=E[ \sum_{i=1}^{16}X_i]=\sum_{i=1}^{16}E[X_i]=16*20}\)
\(\displaystyle{ Var[Y]=Var[ \sum_{i=1}^{16}X_i]=\sum_{i=1}^{16}Var[X_i]=\frac{16}{(0.05)^2}}\). Myślę niepotrzebną komplikacją byłoby wspominanie, że \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład Erlanga.